Lei dos cossenos

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A lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo, seu ângulo oposto e os lados que definem este ângulo através da trigonometria.

[editar] Fórmula:

Em um triângulo qualquer ABC de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ valem as relações:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot cos \widehat{A} \,\!$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot cos \widehat{B} \,\!$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot cos \widehat{C} \,\!$

[editar] Demonstração:

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Considerando a figura, podemos observar três triângulos: $ABC, BCD, BAD \,\!$ .

Destes, pode-se extrair as seguintes relações: $b = n + m \,\!$ e $m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!$ .

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

Para BCD: $a^2 = n^2 + h^2 \,\!$

a* Para BAD: $c^2 = m^2 + h^2 \,\!$

Substituindo $n = b - m \,\!$ e $h^2 = c^2 - m^2 \,\!$ em $a^2 = n^2 + h^2 \,\!$ :

$a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 \,\!$

$\Rightarrow a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2 \,\!$

$\Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m \,\!$

Entretanto, pode-se substituir a relação $m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!$ , do triângulo $BAD \,\!$ , na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot cos \widehat{A} \,\!$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot cos \widehat{B} \,\!$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot cos \widehat{C} \,\!$

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um vetor $\vec{c}$ como sendo igual a $\vec{a}-\vec{b}$ temos um triângulo formado pela soma $\vec{b}+\vec{c}$ e o resultante $\vec{a}$ . Sabendo que $\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2$ e $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot cos(\theta)$ sendo $θ$ o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ temos o seguinte desenvolvimento:

$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$

$\vec{c}^2=(\vec{a}-\vec{b})^2$

$\|\vec{c}\|^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2$

$\|\vec{c}\|^2=\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2-2\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot cos(\theta)$

Que pode ser representado como a lei dos cossenos que conhecemos:

$c^2=a^2+b^2-2a\cdot b \cdot cos \widehat{C}$

Já que $θ$ é o ângulo formado entre os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ e considerando que o ponto da origem de $\vec{a}$ é o mesmo da origem de $\vec{b}$ , dizemos que esse ponto é C, pois é oposto ao vetor $\vec{c}$ , logo formando um ângulo $\widehat{C}$ .

Trigonometria
Função trigonométrica \| Função trigonométrica inversa Seno \| Cosseno \| Tangente \| Cotangente \| Secante \| Cossecante Arco-seno \| Arco-cosseno \| Arco-tangente \| Arco-cotangente \| Arco-secante \| Arco-cossecante Senoverso \| Cossenoverso Teorema dos senos \| Teorema dos cossenos \| Funções hiperbólicas \| Identidades trigonométricas

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../l/e/i/Lei_dos_cossenos.html"

Categoria: Trigonometria

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