Lorentzkraft

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3 Fälle der Bewegung einer Ladung in einem aus dem Bild herauszeigendem Magnetfeld. Ein negativ geladenes Teilchen wird nach links, ein positiv geladenes nach rechts, ein neutrales überhaupt nicht abgelenkt.

Die Lorentzkraft ist nach Hendrik Antoon Lorentz die Kraft, die auf elektrische Ladungen in elektromagnetischen Feldern wirkt.

$\vec F=q (\vec E + \vec v \times \vec B)$

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird oft nur die magnetische Komponente als Lorentzkraft bezeichnet.

$\vec F=q \cdot \vec v \times \vec B$

$\vec F$ Kraft
$q\,$ Elektrische Ladung
$\vec v$ Geschwindigkeit der Ladung
$\vec E$ Elektrisches Feld
$\vec B$ Magnetische Flussdichte
$\times$ Vektorielles Kreuzprodukt

Inhaltsverzeichnis

1 Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter
2 Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung
3 Theorie der Lorentzkraft
4 Beispiele
5 Weblinks

[Bearbeiten] Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Ein elektrischer Strom in einem Leiter besteht aus bewegten elektrischen Ladungen. Befindet sich der Leiter in einem Magnetfeld, wird daher eine Kraft auf ihn ausgeübt.

Wie oben zu sehen ist, ist die Lorentzkraft proportional zur Geschwindigkeit $\vec v$ , mit der sich die Ladung durch das Magnetfeld $\vec B$ bewegt. Da die Stromstärke misst, wieviele Ladungsträger $q$ sich pro Zeiteinheit $t$ durch einen Querschnitt $A$ des Leiters bewegen, wird mit der Länge des Leiters bestimmt, wieviele sich bewegende Ladungsträger im Leiter befinden, und wie schnell sie daher driften müssen.

Kraft auf eine bewegte Ladung $q$ :

$\vec F = q \cdot \vec v \times \vec B$

Ist $\vec l$ der Weg, den die Ladung $q$ in der Zeit $t$ zurücklegt, kann man die Geschwindigkeit ausdrücken als

$\vec v = \frac{\vec l}{t}$

Eingesetzt ergibt sich:

$\vec F = q \cdot \frac{\vec l}{t} \times \vec B$

Die Stromstärke ergibt sich aus der Anzahl von Ladungsträgern $q$ , die sich pro Zeiteinheit $t$ durch einen Querschnitt des Leiters bewegen:

$I = \frac{\part q}{\part t} = \frac{q}{t}$ , wenn

I

wie hier konstant ist. Umgeformt: $q = I \cdot t$

Eingesetzt ergibt sich damit:

$\vec F = I \cdot \vec l \times \vec B$

Wenn man die Länge von $\vec l$ bei gleicher Stromstärke $I$ verdoppelt, so sind auch doppelt so viele Ladungsträger dem Magnetfeld ausgesetzt, und somit ist die Lorentzkraft doppelt so groß. (Vorausgesetzt das Magnetfeld $B$ ist auf der ganzen Länge hinreichend homogen.)

Die entsprechende Betragsgleichung lautet:

$F = I \cdot l \cdot B \cdot \sin\alpha$

wobei $α$ der Winkel zwischen Leiter und Magnetfeld ist. Die Richtung der Kraft geht aus dieser Gleichung nicht hervor und muss separat hergeleitet werden, vgl. oben, Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung.

Im speziellen Fall eines Leiters, der senkrecht zum Magnetfeld verläuft, ist $sinα = 1$ . Damit lässt sich der Betrag der Lorentzkraft besonders einfach berechnen:

$F = I \cdot l \cdot B$

[Bearbeiten] Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung

Die vom Magnetfeld verursachte Lorentzkraft ist sowohl zu den magnetischen Feldlinien als auch zur Bewegungsrichtung der Ladung senkrecht und lenkt die betroffene Ladung ab, ohne den Betrag ihrer Geschwindigkeit zu verändern. (Beweis folgt über die Ableitung des Betrages nach der Zeit, die das Skalarprodukt aus Beschleunigung und Geschwindigkeit enthält. Dieses verschwindet, da die Kraft (bzw. die Beschleunigung) senkrecht zur Bewegungsrichtung (bzw. der Geschwindigkeit) ist.)

Im allgemeinen Fall berechnet sich der Vektor der magnetischen Komponente der Lorentzkraft mit folgendem Kreuzprodukt:

$\vec F = q \cdot \vec v \times \vec B$

Wobei $\vec B$ die Magnetische Flussdichte ist, $q$ die Elektrische Ladung des Teilchens und $\vec v$ seine Geschwindigkeit. Die Polarität der Ladung $q$ muss durch ein Vorzeichen berücksichtigt werden; handelt es sich bei der bewegten Ladungen z. B. um ein Elektron, ist $q$ = −1,602·10⁻¹⁹ C (negativ). Handelt es sich um positiv geladene Teilchen, ist $q > 0$ und $\vec F$ zeigt damit in die entgegengesetzte Richtung.

Die entsprechende Betragsgleichung (mit $α$ als Winkel zwischen $\vec v$ und $\vec B$ ) lautet:

$F = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin \alpha$

Wenn sich ein geladenes Teilchen senkrecht zum Magnetfeld bewegt ist $sinα = 1$ . Damit lässt sich der Betrag der Lorentzkraft besonders einfach berechnen:

$F = |q| \cdot v \cdot B$

Die Drei-Finger-Regel am Beispiel

Während sich bei der Vektorrechnung die Richtung der Kraft automatisch richtig ergibt, muss sie bei der Betragsrechnung separat hergeleitet werden. Dabei hilft die Drei-Finger-Regel oder die Rechte-Faust-Regel. Diese Regeln berücksichtigen – korrekt angewandt – sowohl die Polarität der Ladung als auch deren Bewegungsrichtung im Magnetfeld.

[Bearbeiten] Theorie der Lorentzkraft

Die Lorentzkraft kann als Axiom aufgefasst oder aus der Lagrangeschen Formulierung der Elektrodynamik hergeleitet werden. Das elektromagnetische Feld ist durch das Viererpotential

$A^\mu = \left(\Phi, \vec{A}\right)$

gegeben. Für die Lagrangefunktion eines geladenes Teilchen mit Ladung $q$ und Masse $m$ gilt

$\gamma L = -mc^2 + \frac{q}{c}A_\mu v^\mu \Rightarrow L = -mc^2/\gamma - q\Phi + \vec{A}\cdot\vec{v}$

Hierbei ist die Vierergeschwindigkeit gegeben durch die Ableitung der Koordinaten $x μ$ nach der Eigenzeit $τ$ :

$v^\mu = \frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma\left(c,\vec{v}\right)$

mit dem Zusammenhang zwischen Eigenzeit und Zeit im Inertialsystems des Beobachters

$\gamma = \frac{\mathrm dt}{\mathrm d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

mit $β = v / c$ . Das Prinzip von Hamilton verlangt die Stationarität der Wirkung

$S = \int L \mathrm dt$

und das führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial v_i} - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0$

Einsetzen unserer Lagrangefunktion für ein geladenes Teilchen im EM-Feld liefert die Bewegungsgleichung

$\frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} = q\left(\vec{E}+\frac{1}{c} \vec{v}\times\vec{B}\right)$

Hierbei sind die Felder durch

$\vec{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \nabla \Phi$

$\vec{B} = \vec{\nabla}\times\vec{A}$

definiert und der Impuls lautet

$\vec{p} = m\gamma\vec{v}$

[Bearbeiten] Beispiele

Wenn man im stehenden Auto bei laufendem Motor das Licht (oder die Heckscheibenheizung oder beides) einschaltet, sinkt ganz kurz die Drehzahl ab, bis die Motorsteuerung die Drehzahl wieder stabilisiert hat. Das passiert, weil sich die Lichtmaschine plötzlich „schwerer“ drehen lässt. Jede Kraft erfordert eine Gegenkraft. Immer wenn Energie „verbraucht“ wird (in der Glühlampe) muss sie ja irgendwo herkommen. Energielieferant im Auto ist letztendlich der Kraftstoff. Den Strom, den ein Generator abgibt, kann durch den so genannten Erregerstrom, der über Spulen ein Magnetfeld im Generator erzeugt, gesteuert werden. Ist kein Magnetfeld vorhanden, gibt der Generator keinen Strom ab und benötigt auch keine Antriebsleistung, sondern läuft im Leerlauf. Dort wird nur sehr wenig Leistung zur Überwindung der Reibung benötigt.

Technisch angewandt wird die Lorentzkraft