Vikipedio:Projekto matematiko/Duterma teoremo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Duterma teoremo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Por aliaj temoj uzanta la nomo "dutermo", vidi dutermo (apartigilo).

En matematiko, la duterma teoremo estas grava formulo donanta la elvolvaĵo de (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) de (sumoj, sumas). Ĝia plej simpla versio legas

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}\quad\quad\quad(1)$

ĉiam n estas (ĉiu, iu) nenegativa entjero, la nombroj

${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

estas la dutermaj koeficientoj, kaj $n!$ signifas la faktorialo de n.

Ĉi tiu formulo, kaj la triangula ordigo de la dutermaj koeficientoj, estas ofte (atribuita, atributita) al Blaise Pascal kiu priskribis ilin en la 17-a jarcento. Ĝi estis, tamen, sciata al Ĉinia matematikisto _Yang_ _Hui_ en la 13-a jarcento. La Persa matematikisto Omar Kajjam (majo, povas) havi estas la unua al (malkovri, esplori) ĝi.

Ekzemple, jen la (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) n = 2, n = 3 kaj n = 4:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\,$

Formulo (1) estas valida por ĉiuj (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj x kaj y, kaj pli ĝenerale por (ĉiu, iu) eroj x kaj y de duonringo kiel longa kiel _xy_ = _yx_.

[redaktu] Neŭtona ĝeneraligis duterma teoremo

Isaac Newton ĝeneraligis la formulo al aliaj eksponentoj per konsideranta malfinia serio:

${(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}\quad\quad\quad(2)}$

kie r povas esti (ĉiu, iu) kompleksa nombro (en aparta r povas esti (ĉiu, iu) reela nombro, ne bezone pozitiva kaj ne bezone entjero), kaj la koeficientoj estas donita per

${r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}\,$

En la okazo se k = 0, ĉi tiu estas (produkto, produto) de ne nombroj ajn kaj pro tio egala al 1, kaj en la okazo se k = 1 ĝi estas egala al r, kiel la aldona (faktoroj, faktoras) (r − 1), kaj tiel plu, ne aperi.

Alia vojo al (ekspreso, esprimi) ĉi tiu kvanto estas

${r \choose k}=\frac{(-1)^k}{k!}(-r)_k,$

kiu estas grava kiam unu estas laborante kun malfinia serio kaj devus ŝati al prezenti ilin en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de ĝeneraligitaj supergeometriaj funkcioj. La skribmaniero $(\cdot)_k$ estas la _Pochhammer_ simbolo. Ĉi tiu (formo, formi) estas vitala en aplika matematiko, ekzemple, kiam pritaksanta la (formuloj, formulas) (tiu, ke, kiu) modelo la statistikaj propraĵoj de la fazo-antaŭa kurbeco de luma ondo kiel ĝi propagas tra optika atmosfera _turbulence_.

Aparte oportuna sed ne-evidenta (formo, formi) tenas por la (reciproka, reciprokaĵo, inverso) povo:

$\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose k} x^k \equiv \sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k.$

Por pli (mult)ampleksa (konto, kalkulo) de Neŭtona ĝeneraligis duterma teoremo, vidi duterma serio.

La (sumo, sumi) en (2) konverĝas kaj la egaleco estas vera ĉiam la (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj x kaj y estas "fermi kune" en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) la absoluta valoro | x/y | estas malpli ol unu.

La geometria serio estas speciala okazo de (2) kie ni elekti y = 1 kaj r = −1.

Formulo (2) estas ankaŭ valida por eroj x kaj y de Banaĥa algebro kiel longa kiel _xy_ = _yx_, y estas inversigebla kaj ||x/y|| < 1.

[redaktu] "Duterma tipo"

La duterma teoremo povas esti komencita per (diranta, dirante) (tiu, ke, kiu) la polinoma vico

$\left\{\,x^k:k=0,1,2,\dots\,\right\}\,$

estas de duterma tipo.

[redaktu] A pruvo

Ni uzi matematika indukto. Kiam n = 0, ni havi

$(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.$

Por la indukta (ŝtupo, paŝi), alpreni la teoremo tenas kiam la eksponento estas $m$ . Tiam por $n = m + 1$ ,

(a + b) m + 1 = a (a + b) m + b (a + b) m

$= a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j$ per la indukta hipotezo

$= \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$ per multiplikante tra per

a

kaj

b

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$ per tiranta ekster la

k = 0

(termo, membro, flanko, termino)

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}$ per lasanta

j = k - 1

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}$ per tiranta ekster la

k = m + 1

(termo, membro, flanko, termino) de la _RHS_

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k$ per (kombinanta, komponanta) la (sumoj, sumas)

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$ de Paskala regulo

$= \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$ per adicianta en la

m + 1

(termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas).

kiel deziris.

[redaktu] Bagateloj

En la Sherlock Holmes (libroj, mendas), la kanajla Profesoro _Moriarty_ estas la (aŭtoro, aŭtori) de A Traktato sur la Duterma Teoremo.

La duterma teoremo estas menciita en la _Gilbert_ kaj _Sullivan_ kanto Mi am la Tre Modelo de Moderna Majoro Ĝenerala.

La duterma teoremo (aperas, ŝajnas, aspektas) en almenaŭ tri malsama (laboroj, laboras) per Monty Python - (Terkarbo, Karbo) (Mini, Minejo, Mino), Feliĉa Valo, kaj La Signifo de Vivo.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

_multinomial_ teoremo
Paskala triangulo

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Duterma_teoremo_a2f1.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Faktorialo kaj dutermaj temoj | Algebro | Matematikaj teoremoj

Vikipedio:Projekto matematiko/Duterma teoremo

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Neŭtona ĝeneraligis duterma teoremo

[redaktu] "Duterma tipo"

[redaktu] A pruvo

[redaktu] Bagateloj

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj