Vikipedio:Projekto matematiko/Eksponenta funkcia distribuo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Eksponenta funkcia distribuo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En teorio de probabloj kaj statistiko, la eksponentaj funkciaj distribuoj estas klaso de kontinua probablodistribuo. Ili estas ofte kutima modelo la tempo inter (eventoj, eventas) (tiu, ke, kiu) okazi je konstanta averaĝa kurzo.

Enhavo

1 (Specifo, Specifilo) de la eksponenta funkcia distribuo
2 Aper(aĵ)o kaj aplikoj
3 Propraĵoj
4 Parametra proksumumo
- 4.1 Maksimuma verŝajneco
- 4.2 Konkludo de Bayes
5 Generante eksponenta funkcio (stokastaj variabloj, hazardaj variabloj, lotecaj variabloj)
6 Rilatantaj distribuoj
7 Referencoj

[redaktu] (Specifo, Specifilo) de la eksponenta funkcia distribuo

[redaktu] Probablodensa funkcio

La probablodensa funkcio (pdf) de eksponenta funkcia distribuo havas la (formo, formi)

$f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

kie λ > 0 estas parametro de la distribuo, ofte (nomita, vokis) la kurza parametro. La distribuo estas subtanata sur la intervalo [0,∞). Se hazarda variablo X havas ĉi tiu distribuo, ni skribi X ~ Eksponenta funkcio(λ).

La eksponentaj funkciaj distribuoj povas alternative esti parametrigita per krusta parametro μ = 1/λ.

[redaktu] Tuteca distribua funkcio

La tuteca distribua funkcio estas donita per

$F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

[redaktu] (Alterna, Alterni) (specifo, specifilo)

Kutime uzita (alterna, alterni) (specifo, specifilo) estas al difini la probablodensa funkcio (pdf) de eksponenta funkcia distribuo kiel

$f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\lambda} e^{-x/\lambda} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

kie λ > 0 estas parametro de la distribuo kaj povas esti penso de kiel la inverso de la kurza parametro difinis pli supre. En ĉi tiu (specifo, specifilo), λ estas elviva parametro en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) se hazarda variablo X estas la daŭro de tempo (tiu, ke, kiu) donita biologia aŭ mekanika sistemo M (administras, regas) al travivi kaj X ~ Eksponenta funkcio(λ) tiam $\mathbb{E}[X] = \lambda$ . Tio estas al diri, la atendis daŭro de elviva de M estas λ (unuoj, unuas) de tempo.

Ĉi tiu (alterna, alterni) (specifo, specifilo) estas iam pli oportuna ol la unu donita pli supre, kaj iu (aŭtoroj, aŭtoras) estos uzi ĝi kiel norma difino. Ni estos ne alpreni ĉi tiu (alterna, alterni) (specifo, specifilo). Bedaŭrinde ĉi tiu donas pligrandiĝo al _notational_ multvaloreco. En ĝenerala, la legilo devas kontroli kiu de ĉi tiuj du (konstruplano, specifiloj, specifas) estas estante uzita se (aŭtoro, aŭtori) skribas "X ~ Eksponenta funkcio(λ)."

[redaktu] Aper(aĵ)o kaj aplikoj

La eksponenta funkcia distribuo estas uzita al modelo _Poisson_ procezoj, kiu estas (situacioj, situacias) en kiu objekto (komence, fonte) en (ŝtato, stato, stati) A povas ŝanĝi al (ŝtato, stato, stati) B kun konstanta probablo por unua tempo λ. La tempo je kiu la (ŝtato, stato, stati) reale ŝanĝas estas priskribita per eksponenta funkcia hazarda variablo kun parametro λ. Pro tio, la integralo de 0 al T super f estas la probablo (tiu, ke, kiu) la objekto estas en (ŝtato, stato, stati) B je tempo T.

La eksponenta funkcia distribuo (majo, povas) esti vidita kiel kontinua kopio de la geometria distribuo, kiu priskribas la nombro de Prova de Bernoullas necesa por diskreta procezo al ŝanĝi (ŝtato, stato, stati). En kontrasto, la eksponenta funkcia distribuo priskribas la tempo por kontinua procezo al ŝanĝi (ŝtato, stato, stati).

En (reala, reela) mondo (scenaroj, scenaras), la (premiso, supozo) de konstanta kurzo (aŭ probablo por unua tempo) estas malofte kontentigita. Ekzemple, la kurzo de rentanta _phone_ (vokas, vokoj) diferencas laŭ la tempo de tago. Sed se ni fokuso sur tempa intervalo dum kiu la kurzo estas malglate konstanto, kiel de 2 al 4 Pm dum laboro (tagoj, tagas, diurnoj, diurnas, tagnoktoj, tagnoktas), la eksponenta funkcia distribuo povas esti uzita kiel bona aproksimi modelo por la tempo ĝis la venonta _phone_ (voko, voki) alvenas. Simila _caveats_ turni sin al jeno (ekzemploj, ekzemplas) kiu liveri proksimume eksponente distribuis (variabloj, variablas):

la tempo ĝis vi havi via venonta aŭtomobila akcidento;
la tempo ĝis radioaktivaj partiklaj kadukiĝoj, aŭ la tempo inter pepoj de _geiger_ nombrilo;
la nombro de ĵetkubo (ĵetiĝadas, bulkoj, bulkas, rulas, volvas) (bezonata, bezonis) ĝis vi (ĵetiĝadi, bulko, ruli, volvi) ses 11 (tempoj, tempas) en (linio, vico);
la tempo ĝis granda aerŝtono (striko, ekbruligi, trafi, frapi, bati) kaŭzas (maso, amaso) estingiĝa evento.

Eksponenta funkcio (variabloj, variablas) povas ankaŭ kutimi modelo (situacioj, situacias) kie certaj okazoj okazi kun konstanta probablo por unuo distanco:

la distanco inter (mutacioj, mutacias) sur DNA (kablero, fadenero);
la distanco inter _roadkill_ sur donita strato;

En viciga teorio, la inter-(alportado, veno) (tempoj, tempas) (kio estas la (tempoj, tempas) inter (klientoj, klientas) (eniganta, eneniranta) la sistemo) estas ofte modelita kiel eksponente distribuis (variabloj, variablas). La longo de procezo (tiu, ke, kiu) povas esti penso de kiel vico de kelkaj sendependa (taskoj, taskas) estas pli bona modelis per (variablo, varianta) sekva la γ distribuo (kiu estas (sumo, sumi) de kelkaj sendependa eksponente distribuis (variabloj, variablas)).

Esperindeca teorio kaj (fidindo, esperindeco) inĝenierado ankaŭ fari (mult)ampleksa uzi de la eksponenta funkcia distribuo. Pro la senmemora propraĵo de ĉi tiu distribuo, ĝi estas bone-konvenita al modelo la konstanta hazarda kurza porcio de la (bankuvo, banujo) kurbo uzita en esperindeca teorio. Ĝi estas ankaŭ tre oportuna ĉar ĝi estas (do, tiel) facila al adicii malsukcesaj kurzoj en (fidindo, esperindeco) modelo. La eksponenta funkcia distribuo estas tamen ne adekvata al modelo la entute vivperiodo de (organismoj, organismas) aŭ teknika (aranĝaĵoj, aranĝaĵas, disponaĵoj, disponaĵas, aparatoj, aparatas), ĉar la "malsukcesaj kurzoj" jen ne konstanto: pli (bankrotoj, malsukcesoj, malsukcesas) okazi por tre juna kaj por tre malnovaj sistemoj.

En fiziko, se vi observi gaso je (fiksis, neŝanĝebligita) temperaturo kaj premo en uniforma gravita kampo, la (altoj, altas) de la diversaj (molekuloj, molekulas) ankaŭ sekvi aproksimi eksponenta funkcia distribuo. Ĉi tiu estas konsekvenco de la entropia propraĵo menciis pli sube.

[redaktu] Propraĵoj

[redaktu] (Meznombro, Signifi) kaj varianca devio

La (meznombro, signifi) aŭ atendata valoro de eksponente distribuis hazarda variablo X kun kurza parametro λ estas donita per

$\mathbf{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$

En lumo de la (ekzemploj, ekzemplas) donita pli supre, ĉi tiu (konstruas, faras) (senso, senco): se vi ricevi _phone_ (vokas, vokoj) je averaĝa kurzo de 2 por horo, tiam vi povas atendi al atendi duona horo por ĉiu (voko, voki).

La varianco de X estas $\frac{1}{\lambda^2}$ .

[redaktu] _Memorylessness_

Grava propraĵo de la eksponenta funkcia distribuo estas (tiu, ke, kiu) ĝi estas senmemora. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) se hazarda variablo T estas eksponente distribuita, ĝia kondiĉa probablo obeas

$P(T > s + t\; |\; T > t) = P(T > s) \;\; \hbox{for all}\ s, t \ge 0.$

Ĉi tiu diras (tiu, ke, kiu) la kondiĉa probablo (tiu, ke, kiu) ni (bezoni, bezono, necesa) al atendi, ekzemple, pli ol alia 10 (sekundoj, sekundas, sekundantoj, sekundantas) antaŭ la unua (alportado, veno), donita (tiu, ke, kiu) la unua (alportado, veno) havas ankoraŭ ne okazis post 30 (sekundoj, sekundas, sekundantoj, sekundantas), estas ne malsama de la komenca probablo (tiu, ke, kiu) ni (bezoni, bezono, necesa) al atendi pli ol 10 (sekundoj, sekundas, sekundantoj, sekundantas) por la unua (alportado, veno). Ĉi tiu estas ofte _misunderstood_ per studentoj prenante (kursoj, kursas) sur probablo: la fakto (tiu, ke, kiu) P(T > 40 | T > 30) = P(T > 10) faras ne (meznombro, signifi) (tiu, ke, kiu) la (eventoj, eventas) T > 40 kaj T > 30 estas sendependa. Al resumi: "_memorylessness_" de la probablodistribuo de la atendanta tempo T ĝis la unua (alportado, veno) (meznombroj, meznombras, signifas)

$\mathrm{(Right)}\ P(T>40 \mid T>30)=P(T>10).$

Ĝi faras ne (meznombro, signifi)

$\mathrm{(Wrong)}\ P(T>40 \mid T>30)=P(T>40).$

((Tiu, Ke, Kiu) devus esti sendependeco. Ĉi tiuj du (eventoj, eventas) estas ne sendependa.)

La eksponentaj funkciaj distribuoj estas la nur kontinuaj senmemoraj probablodistribuoj.

La eksponenta funkcia distribuo ankaŭ havas konstanta hazarda funkcio.

[redaktu] _Quartiles_

La _quantile_ funkcio (inversa tuteca distribua funkcio) por Eksponenta funkcio(λ) estas

$F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda}, \!$

por $0 \le p < 1$ . La _quartiles_ estas pro tio:

unua _quartile_: $\ln(4/3)/\lambda\,$
mediano: $\ln(2)/\lambda\,$
tria _quartile_: $\ln(4)/\lambda\,$

[redaktu] Entropio

Inter ĉiuj kontinuaj probablodistribuoj kun subteno [0,∞) kaj (meznombro, signifi) μ, la eksponenta funkcia distribuo kun λ = 1/μ havas la plej granda entropio.

[redaktu] Parametra proksumumo

Supozi vi scii (tiu, ke, kiu) donita (variablo, varianta) estas eksponente distribuita kaj vi bezono al taksi la kurza parametro λ.

[redaktu] Maksimuma verŝajneco

La verŝajneca funkcio por λ, donita sendependa kaj idente distribuis specimeno x = (x₁, ..., x_n) desegnita de via (variablo, varianta), estas

$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda \, \exp(-\lambda x_i) = \lambda^n \, \exp\!\left(\!-\lambda \sum_{i=1}^n x_i\right)=\lambda^n\exp\left(-\lambda n \overline{x}\right)$

kie

$\overline{x}={1 \over n}\sum_{i=1}^n x_i$

estas la specimeno (meznombro, signifi).

La derivaĵo de la verŝajneca funkcia logaritmo estas

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \left( n \ln(\lambda) - \lambda n\overline{x} \right) = {n \over \lambda}-n\overline{x}\ \left\{\begin{matrix} > 0 & \mbox{if}\ 0 < \lambda < 1/\overline{x}, \\ \\ = 0 & \mbox{if}\ \lambda = 1/\overline{x}, \\ \\ < 0 & \mbox{if}\ \lambda > 1/\overline{x}. \end{matrix}\right.$

(Sekve, Sinsekve) la maksimuma verŝajneco taksi por la kurza parametro estas

$\widehat{\lambda} = \frac1{\overline{x}}$ .

[redaktu] Konkludo de Bayes

La konjugita antaŭ por la eksponenta funkcia distribuo estas la γ distribuo (kies la eksponenta funkcia distribuo estas speciala okazo). Jeno _parameterization_ de la γ pdf estas utila:

$\mathrm{Gamma}(\lambda \,;\, \alpha, \beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \, \lambda^{\alpha-1} \, \exp(-\lambda\,\beta). \!$

La _posterior_ distribuo p povas tiam esti esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la verŝajneca funkcio difinis pli supre kaj γ antaŭa:

$p(\lambda) \propto L(\lambda) \times \mathrm{Gamma}(\lambda \,;\, \alpha, \beta)$

$= \lambda^n \, \exp(-\lambda\,n\overline{x}) \times \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \, \lambda^{\alpha-1} \, \exp(-\lambda\,\beta)$

$\propto \lambda^{(\alpha+n)-1} \, \exp(-\lambda\,(\beta + n\overline{x})).$

Nun la _posterior_ denseco p havas estas precizigita supren al forestas ununormiganta konstanto. Ekde ĝi havas la (formo, formi) de γ pdf, ĉi tiu povas facile esti (enspacita, plenigita) en, kaj unu ricevas

$p(\lambda) = \mathrm{Gamma}(\lambda \,;\, \alpha + n, \beta + n \overline{x}).$

Ĉi tie la parametro α povas esti interpretita kiel la nombro de antaŭa (observadoj, observadas), kaj β kiel la (sumo, sumi) de la antaŭa (observadoj, observadas).

[redaktu] Generante eksponenta funkcio (stokastaj variabloj, hazardaj variabloj, lotecaj variabloj)

Koncepte tre simpla maniero por generante eksponenta funkcio (stokastaj variabloj, hazardaj variabloj, lotecaj variabloj) estas bazita sur inverso (konverti, konverto) specimenanta: Donita hazarda hazarda variablo U desegnita de la uniforma distribuo sur la unuobla intervalo $(0;1)$ , la hazarda variablo

$T = F^{-1}(U) \!$

havas eksponenta funkcia distribuo, kie $F - 1$ estas la _quantile_ funkcio, difinis per

$F^{-1}(p)=\frac{-\ln(1-p)}{\lambda}. \!$

Ankaŭ, se U estas uniformo sur $(0;1)$ , tiam (do, tiel) estas $1 - U$ . Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) unu povas generi eksponenta funkcio (stokastaj variabloj, hazardaj variabloj, lotecaj variabloj) kiel sekvas:

$T = \frac{-\ln U}{\lambda}. \!$

Aliaj manieroj por generante eksponenta funkcio (stokastaj variabloj, hazardaj variabloj, lotecaj variabloj) estas diskutita per Knuth-a<_ref_>_Donald_ E. Knuth-a (1998). La Arto de Komputila Programado, volumeno 2: _Seminumerical_ (Algoritmoj, Algoritmas), 3-a _edn_. _Boston_: Addison-a-_Wesley_. ISBN 0-201-89684-2. Vidi sekcio 3.4.1, p. 133.</_ref_> kaj _Devroye_<_ref_>_Luc_ _Devroye_ (1986). Ne-Uniforma Hazarda Hazarda variabla Generacio. (Nov-Jorkio, Novjorko): _Springer_-_Verlag_. ISBN 0-387-96305-7. Vidi ĉapitro _IX_, sekcio 2, _pp_. 392–401.</_ref_>.

[redaktu] Rilatantaj distribuoj

Eksponenta funkcia distribuo estas speciala okazo de γ distribuo se $α = 1$ (aŭ $k = 1$ dependanta sur la parametra aro uzita).
$Y ˜Weibull(γ,λ)$ estas _Weibull_ distribuo se $Y = X^{1/\gamma}\,$ kaj $X ˜Exponential(λ - γ)$ . En aparta, ĉiu eksponenta funkcia distribuo estas ankaŭ _Weibull_ distribuo.
$Y ˜Rayleigh(1 / λ)$ estas _Rayleigh_ distribuo se $Y = \sqrt{2X/\lambda}$ kaj $X ˜Exponential(λ)$ .
$Y ˜Gumbel(μ,β)$ estas _Gumbel_ distribuo se $Y = \mu - \beta \log(X/\lambda)\,$ kaj $X ˜Exponential(λ)$ .
$Y ˜Laplace$ estas Laplaca distribuo se $Y = X 1 - X 2$ por du sendependaj eksponentaj funkciaj distribuoj $X 1$ kaj $X 2$ .
$Y ˜Exponential$ estas eksponenta funkcia distribuo se $Y = \min(X_1, X_2, \cdots, X_N)$ por sendependaj eksponentaj funkciaj distribuoj $X i$ .
$Y ˜Gamma$ estas γ distribuo se $Y = \sum_{i} X_i\,$ por sendependaj eksponentaj funkciaj distribuoj $X_i\,$ .
$Y ˜Uniform(0,1)$ estas uniforma distribuo se $Y = \exp(-X/\lambda)\,$ kaj $X ˜Exponential(λ)$ .
$X \sim \chi_2^2$ estas _chi_-kvadrata distribuo (kun 2 (gradoj, gradas) de libereco) se $X ˜Exponential(λ = 2)$ .