Vikipedio:Projekto matematiko/Infinitezimo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Infinitezimo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, infinitezimo, aŭ malfinie malgranda nombro, estas nombra tio estas (pli minuskla, pli malgranda) en absoluta valoro ol (ĉiu, iu) pozitiva reela nombro. Nombro x estas infinitezimo se kaj nur se por ĉiu entjero n, |_nx_| estas malpli ol 1, ne (materio, afero) kiel granda n estas. En (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo), 1/x estas pli granda ol (ĉiu, iu) pozitiva reela nombro. Nenulo (infinitezimoj, infinitezimas), evidente, estas ne reelaj nombroj, (do, tiel) "(operacioj, operacias)" sur ilin estas ne familiara.

[redaktu] Historio de la infinitezimo

La unua matematikisto al utiligi (infinitezimoj, infinitezimas) estita Arkimedo, kvankam li farita ne kredi je ilia ekzisto. Vidi la artikolo sur kiel Arkimedo uzis infinitezimoj. La Arĥimeda propraĵo estas la propraĵo de (mendita, ordita) algebra strukturo de havanta ne nenulo (infinitezimoj, infinitezimas).

En Barato de la 12-a jarcento ĝis la 16-a jarcento, (infinitezimoj, infinitezimas) estita esplorita por uzi kun diferenciala kalkulo per Hinda matematikisto _Bhaskara_ kaj diversaj _Keralese_ (matematikistoj, matematikistas).

Kiam Neŭtono kaj Gottfried Wilhelm Leibniz ellaborita la kalkulo, ili farita uzi de (infinitezimoj, infinitezimas). Tipa argumento povus iri:

Al trovi la derivaĵo f'(x) de la funkcio f(x) = x², estu dx esti infinitezimo. Tiam,

$f'(x)\,$	$=\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\,$
	$=\frac{x^2 + 2x \cdot dx + dx^2 -x^2}{dx}\,$
	$=2x + dx\,$
	$=2x\,$

ekde dx estas _infinitesimally_ malgranda.

Ĉi tiu argumento, dum intuicie apelacianta, kaj produktanta la (ĝusta, ĝustigi, korekti) rezulto, estas ne matematike rigora. La uzi de (infinitezimoj, infinitezimas) estita atakita kiel malĝusta per (Episkopo, Kuriero) _Berkeley_ en lia laboro La Analizisto: aŭ (diskurso, traktato) adresis al _infidel_ matematikisto. La fundamenta problemo estas (tiu, ke, kiu) dx estas unua (traktis, kuracita) kiel ne-nulo (ĉar ni dividi per ĝi), sed poste uzofinis kvazaŭ ĝi estis nulo.

Ĝi estis ne ĝis la (sekundo, dua) duono de la dek-naŭa jarcento (tiu, ke, kiu) la kalkulo estis donita formala matematika (fundamento, subkonstruaĵo) per _Karl_ Weierstrass-a kaj aliaj uzanta la nocio de limigo. En la 20-a jarcento, ĝi estis fundamenti (tiu, ke, kiu) (infinitezimoj, infinitezimas) povita post ĉiuj esti (traktita, kuracita) rigore. Neniu formulaĵo estas (ĝusta, dekstra, rajto) aŭ erara, kaj ambaŭ doni la samaj rezultoj se uzita ĝuste.

[redaktu] Moderna uzas de (infinitezimoj, infinitezimas)

(Infinitezimoj, Infinitezimas) estas _legitimate_ (kvantoj, kvantas) en la ne-norma analitiko de Abraham Robinson-a. En ĉi tiu teorio, la pli supre kalkulado de la derivaĵo de f(x) = x² povas esti pravigita kun minora ŝanĝo: ni devi (konversacii, konversacio, prelego) pri la norma parto de la diferenca kvociento, kaj la norma parto de x + dx estas x.

Alternative, ni povas havi _synthetic_ diferenciala geometrio aŭ glata infinitezima analitiko kun ĝia (radikoj, radikas) en teorio de kategorioj. Ĉi tiu (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) foriras _dramatically_ de la klasika logiko uzita en kutima matematiko per malkonsentanta la leĝo de la ekskludis mezo--kio estas, ne (a ≠ b) ne devi (meznombro, signifi) a = b. _nilsquare_ aŭ (nulpotenca, nilpotenta) infinitezimo povas tiam esti difinita. Ĉi tiu estas nombro x kie x ² = 0 estas vera, sed x ≠ 0 povas ankaŭ esti vera samtempe. Kun infinitezimo kiel ĉi tiu, algebraj pruvoj uzanta (infinitezimoj, infinitezimas) estas sufiĉe rigora, inkluzivanta la unu donita pli supre.