אינפיניטסימל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אינפיניטסימל הוא כל ישות מתמטית חיובית שהינה קטנה "לאין שיעור".

[עריכה] הגדרה "פורמלית"

נאמר ש $ε$ הוא מספר אינפינטסימלי אם מתקיימים התנאים הבאים:

$ε > 0$
אפסילון קטן מכל מספר חיובי אחר.

בפועל הגדרה זו מכילה סתירה עצמית ולכן מספר כזה לא קיים באמת, ברם אם נבצע חישוב באמצעות אפסילון ואז נשאיף את אפסילון לאפס, נקבל מימוש של חשבון עם אינפינטסימל, חשבון הנקרא "חשבון אינפיניטסימלי".

למרות שהאינפינטיסמל (או קונספט הגודל האינפיניטסימלי) הוא גודל סתירתי ושגוי לוגית, כל החישובים שמבצעים בעזרתו (אם נעשים בזהירות) עובדים ומניבים תוצאות נכונות. הסיבה לכך היא שאת האינפינטסימל אפשר ל"ממש" באופן ריגורוזי (קפדני) באמצעות גבול.

[עריכה] היסטוריה

האינפיניטסימלים היו הבסיס לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שפיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ ובאמצעותו הוכיחו חלק רב מהטענות שלהם.

דוגמה מאוד מפורסמת היא חישוב הנגזרת. הנגזרת מוגדרת על ידי הגבול

$f'(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}$

אנו ניקרא לאינפינטסימל שלנו h ונחשב באמצעותו את הנגזרת של $\!\, f(x)=x^2$ .

לפי הגדרת הגבול: $f'(x) \leftarrow \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} =$ .
נפתח את הסוגריים: $= \frac{ 2 x h + h^2 }{h} =$ ,
מאחר ש h שונה מאפס (הגדרה 1) אפשר לצמצמם בו ולכן $\!\, = 2x + h =$
אבל h קטן מכל מספר ממשי ולכן זניח - ממש אפסי - ביחס ל x. לכן אפשר לזרוק אותו. לכן קיבלנו פשוט 2x. באופן חלופי אפשר פשוט להשאיף את h לאפס.

וסה"כ $\!\, (x^2)' = 2 x$ .

זו אכן התוצאה הנכונה, אבל התהליך שבו הגענו אליה הוא סתירתי. קודם הנחנו ש- h שונה ממש מאפס ולכן חילקנו בו, ברם אח"כ התנהגנו כאילו h שווה ממש אפס וזרקנו אותו.

הראשון ששם לב לבעייתיות הזו היה הפילוסוף ג'ורג' ברקלי שתקף את החשבון האינפינטסימלי של ניוטון על כך, בספרו "האנליטיקאי". מאחר שבאותה תקופה, המתמטיקאים היו עסוקים יותר בגילויים חדשים, מעט מאוד הקדישו מאמץ לפתור את הבעיה.

המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי, שהיה ידוע בקפדנות ובשיטות הריגורוזיות שלו, נתקל בבעיה כאשר התבקש לכתוב ספר לימוד בנושא החדו"א. קושי היה מאוד לא מרוצה מהעובדה שאחד הכלים השימושיים ביותר של המתמטיקה, הפיזיקה וההנדסה היה מבוסס על סתירה לוגית. באמצעות הגדרה ריגורוזית למושג הגבול, הגדרה שמתבססת רק על גדלים סופיים, הצליח קושי לסלק את מושג ה"אינפיניטסימל" מהחדו"א ולבסס אותו באופן לוגי וריגורוזי.

דרך אחרת לטפל בבעיתיות שבמושג האינפיניטסימל הנאיבי היא בעזרת אנליזה לא סטנדרטית.

[עריכה] שימושים באינפינטיסמל

גם היום משתמשים באינפינטסימל לבצע חישובים ופיתוחים, בתחומי המתמטיקה והפיזיקה (כמו נוסחאות גזירה באנליזה וקטורית), למרות שידוע שהשימוש בהם הוא שגוי לוגית. הסיבה לכך היא שהחישוב באמצעות אינפיניטסימלים הוא לרוב נוח ואינטואיטיבי, ותמיד אפשר לתרגם אותה לצורה לוגית נכונה וריגורוזית בדומה למה שעשה קושי. למרות שהאינפיניטסימל הוא כלי יעיל לחישובים, הוא לא קביל לשימוש בהוכחות מתמטיות (בהוכחות פסאודו-מתמטיות של פיזיקאים הוא דווקא כן קביל).

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%99/%D7%A0/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9C.html

קטגוריה: אנליזה מתמטית

אינפיניטסימל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] הגדרה "פורמלית"

[עריכה] היסטוריה

[עריכה] שימושים באינפינטיסמל

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות