Vikipedio:Projekto matematiko/Varianca devio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Varianca devio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En probablo kaj statistiko, la varianca devio estas la plej kutime uzita mezuri de statistika varianco. Simple meti, ĝi (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) kiel malfaldi la (valoroj, valoras) en datuma aro estas.

La varianca devio estas difinita kiel la kvadrata radiko de la varianco. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) ĝi estas la radiko (meznombro, signifi) kvadrato (_RMS_) dekliniĝo de la averaĝa. Ĝi estas difinita tiamaniere por ke doni ni mezuri de varianco (ondo) tio estas (1) nenegativa nombro, kaj (2) havas la sama (unuoj, unuas) kiel la datumoj. Ekzemple, se la datumoj estas distanco (mezuroj, mezuras) en (nombriloj, nombras, metroj, metras), la varianca devio estos ankaŭ esti (mezurita, kriteriita) en (nombriloj, nombras, metroj, metras).

Distingo estas farita inter la varianca devio σ (σ) de tuta loĝantaro aŭ de hazarda variablo, kaj la varianca devio s de subaro-loĝantaro specimeno. La formuloj estas donita pli sube.

La (termo, membro, flanko, termino) varianca devio estis prezentita al statistiko per _Karl_ _Pearson_ (Sur la sekco de malsimetriaj frekvencaj kurboj, 1894).

Enhavo

1 Difino kaj simbola ligila kalkulo de varianca devio
2 Ekzemplo
3 Interpretado kaj apliko
- 3.1 Geometria interpretado
- 3.2 Reguloj por normale distribuis datumoj
4 Interrilato inter varianca devio kaj (meznombro, signifi)
5 Rapidaj kalkulaj manieroj
6 An aksioma (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo)
7 Vidu ankaŭ jenon:
8 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Difino kaj simbola ligila kalkulo de varianca devio

Supozi ni estas donita loĝantaro x₁, ..., x_N de (valoroj, valoras) (kiu estas reelaj nombroj). La aritmetika meznombro de ĉi tiu loĝantaro estas difinita kiel:

$\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}$

(vidi σ skribmaniero) kaj la varianca devio de ĉi tiu loĝantaro estas difinita kiel:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

La varianca devio de hazarda variablo X estas difinita kiel:

$\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$

Ne ĉiuj hazarda variablo havi varianca devio, ekde ĉi tiuj (atendataj valoroj, atenditaj valoroj) (bezoni, bezono, necesa) ne ekzisti. Se la hazarda variablo X prenas sur la (valoroj, valoras) x₁,...,x_N kun egala probablo, tiam ĝia varianca devio povas esti komputita kun la formulo donita pli frua.

Donita nur specimeno de (valoroj, valoras) x₁,...,x_N de iu pli granda loĝantaro, multaj (aŭtoroj, aŭtoras) difini la specimeno (aŭ taksis) varianca devio per:

$s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

La kaŭzo por ĉi tiu difino estas (tiu, ke, kiu) s² estas nedekliva proksimumilo por la varianco σ² de la suba loĝantaro. (La derivaĵo de ĉi tiu ekvacio alprenas nur (tiu, ke, kiu) la specimenoj estas nekorelaciigita kaj (konstruas, faras) ne supozo rilate ilia distribuo.) Tamen, s estas ne nedekliva proksimumilo por la varianca devio σ; ĝi strebas al subtaksi la loĝantara varianca devio. Kvankam nedekliva proksimumilo por "s" estas sciata kiam la hazarda variablo estas normale distribuita, la formulo estas komplika kaj kvantoj al minora korektado. Ankaŭ, _unbiasedness_, en ĉi tiu (senso, senco) de la vorto, estas ne ĉiam dezirinda; vidi deklivo (statistiko). Iu havi argumentita (tiu, ke, kiu) (ebena, para, eĉ) la diferenco inter N kaj N − 1 en la denominatoro estas finite komplekso kaj bagatela. Sen (tiu, ke, kiu) (termo, membro, flanko, termino), kio estas (maldekstre, restita) estas la pli simpla esprimo:

$s = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

Ĉi tiu (formo, formi) havas la dezirinda propraĵo de estante la maksimumo-verŝajneco taksi kiam la loĝantaro (aŭ la hazarda variablo X) estas normale distribuita.

[redaktu] Ekzemplo

Ni estos montri kiel al kalkuli la varianca devio de loĝantaro. Nia ekzemplo estos uzi la (aĝoj, aĝas) de kvar junaj infanoj: { 5, 6, 8, 9 }.

(Ŝtupo, Paŝi) 1. Kalkuli la (meznombro, signifi)/averaĝa $\overline{x}$ :

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

Ni havi N = 4 ĉar estas kvar datumaj punktoj:

$x_1 = 5\,\!$

$x_2 = 6\,\!$

$x_3 = 8\,\!$

$x_4 = 9\,\!$

$\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i$ Anstataŭiganta N kun 4

$\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )$

$\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )$

$\overline{x}= 7$ Ĉi tiu estas la (meznombro, signifi).

(Ŝtupo, Paŝi) 2. Kalkuli la varianca devio $\sigma\,\!$ :

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}$ Anstataŭiganta N kun 4

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}$ Anstataŭiganta $\overline{x}$ kun 7

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }$

$\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}$

$\sigma = 1.5811\,\!$ Ĉi tiu estas la varianca devio.

Estita ĉi tiu ara specimeno desegnita de pli granda loĝantaro de infanoj, kaj la demando je mano estis la varianca devio de la loĝantaro, konvencio devus anstataŭigi la N (aŭ 4) ĉi tie kun N−1 (aŭ 3).

[redaktu] Interpretado kaj apliko

Granda varianca devio indikas (tiu, ke, kiu) la datumaj punktoj estas malproksime de la (meznombro, signifi) kaj malgranda varianca devio indikas (tiu, ke, kiu) ili estas faskita proksime ĉirkaŭ la (meznombro, signifi).

Ekzemple, ĉiu de la tri specimenoj (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14), kaj (6, 6, 8, 8) havas (meznombro, signifi) de 7. Iliaj variancaj devioj estas 7, 5 kaj 1, respektive. La tria aro havas multa (pli minuskla, pli malgranda) varianca devio ol la alia du ĉar ĝia (valoroj, valoras) estas ĉiuj proksime al 7. La valoro de la varianca devio povas esti konsiderata 'granda' aŭ 'malgranda' nur en rilato al la specimena tio estas estante (mezurita, kriteriita). En ĉi tiu (kesto, okazo), varianca devio de 7 (majo, povas) esti konsiderata granda. Donita malsama specimeno, varianca devio de 7 povus esti konsiderata malgranda.

Varianca devio (majo, povas) esti penso de kiel mezuri de necerte. En fizika scienco ekzemple, la raportita varianca devio de grupo de ripetis (mezuroj, mezuras) devus doni la precizeco de tiuj (mezuroj, mezuras). Kiam decidanta ĉu (mezuroj, mezuras) (kongrui, konsenti) kun teoria antaŭdiro, la varianca devio de tiuj (mezuroj, mezuras) estas de krita graveco: se la (meznombro, signifi) de la (mezuroj, mezuras) estas ankaŭ malproksime de la antaŭdiro (kun la distanco (mezuris, kriteriita) en variancaj devioj), tiam ni konsideri la (mezuroj, mezuras) kiel kontraŭdiranta la antaŭdiro. Ĉi tiu (konstruas, faras) (senso, senco) ekde ili fali ekster la limigo de (valoroj, valoras) (tiu, ke, kiu) povis laŭkaŭze esti atendita al okazi se la antaŭdiro estis (ĝusta, ĝustigi, korekti) kaj la varianca devio adekvate kvantigis. Vidi antaŭdira intervalo.

[redaktu] Geometria interpretado

Al (konkeri, gajni) iu geometria _insights_, ni estos starti kun loĝantaro de tri (valoroj, valoras), x₁, x₂, x₃. Ĉi tiu difinas punkto P = (x₁, x₂, x₃) en R³. Konsideri la linio L = {(r, r, r) : r en R}. Ĉi tiu estas la "ĉefa diagonalo" iranta tra la fonto. Se nia tri donita (valoroj, valoras) estita ĉiuj egala, tiam la varianca devio devus esti nulo kaj P devus (mensogi, kuŝi) sur L. (Do, Tiel) ĝi estas ne senkaŭza al alpreni (tiu, ke, kiu) la varianca devio estas rilatanta al la distanco de P al L. Kaj tio estas ja la (kesto, okazo). Movanta (perpendikulare, orte) de P al la linio L, unu (batoj, batas, furorkantoj, furorkantas, klavas, furoroj, furoras, modkantoj, modkantas) la punkto:

$R = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})$

kies (koordinatoj, koordinatas) estas la (meznombro, signifi) de la (valoroj, valoras) ni startita ekster kun. Iom algebro montras (tiu, ke, kiu) la distanco inter P kaj R (kiu estas la sama kiel la distanco inter P kaj la linio L) estas donita per σ&_radic_;3. Analoga formulo (kun 3 (anstataŭigita, anstataŭigis) per N) estas ankaŭ valida por loĝantaro de N (valoroj, valoras); ni tiam devi laboro en R^N.

[redaktu] Reguloj por normale distribuis datumoj

Malhelblua estas malpli ol unu varianca devio de la (meznombro, signifi). Por la normala distribuo, ĉi tiu (kontoj, kalkuloj, kontas, kalkulas) por 68.26% de la aro. Por la normala distribuo, du variancaj devioj de la (meznombro, signifi) (blua kaj bruna) (konto, kalkulo) por 95.46%. Por la normala distribuo, tri variancaj devioj (blua, bruna kaj verda) (konto, kalkulo) por 99.73%.

En praktiko, unu ofte alprenas (tiu, ke, kiu) la datumoj estas de proksimume normale distribuis loĝantaro. Se (tiu, ke, kiu) supozo estas pravigita, tiam pri 68.26% de la (valoroj, valoras) estas je en 1 varianca devio for de la (meznombro, signifi), pri 95.46% de la (valoroj, valoras) estas en du variancaj devioj kaj pri 99.73% (mensogi, kuŝi) en 3 variancaj devioj. Ĉi tiu estas sciata kiel la "68-95-99.7 regulo". Kiel vorto de averti, tipe ĉi tiu supozo iĝas malpli preciza en la (vostoj, vostas).

Por normalaj distribuoj, la du punktoj de la kurbo kiu estas unu varianca devio de la (meznombro, signifi) estas ankaŭ la fleksiaj punktoj.

Se la distribuo estas nekonato, unu povas uzi Neegalaĵo de Ĉebiŝev aproksimi la probablo al esti for de la (meznombro, signifi).

[redaktu] Interrilato inter varianca devio kaj (meznombro, signifi)

La (meznombro, signifi) kaj la varianca devio de aro de datumoj estas kutime raportita kune. En certa (senso, senco), la varianca devio estas "natura" mezuri de statistika varianco se la centro de la datumoj estas (mezurita, kriteriita) pri la (meznombro, signifi). Ĉi tiu estas ĉar la varianca devio de la (meznombro, signifi) estas (pli minuskla, pli malgranda) ol de (ĉiu, iu) alia punkto. La preciza (propozicio, frazo, ordono) estas jeno: supozi x₁, ..., x_n estas reelaj nombroj kaj difini la funkcio:

$\sigma(r) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - r)^2}$

Uzanta kalkulo, ĝi estas ne malfacila al montri (tiu, ke, kiu) σ(r) havas unika minimumo je la (meznombro, signifi):

$r = \overline{x}$

(ĉi tiu povas ankaŭ esti farita kun honeste simpla algebro sola, ekde, kiel funkcio de r, ĝi estas kvadrata polinomo).

La koeficiento de variacio de specimeno estas la rilatumo de la varianca devio al la (meznombro, signifi). Ĝi estas sendimensia nombro (tiu, ke, kiu) povas kutimi kompari la kvanto de varianco inter (loĝantaroj, loĝantaras) kun malsama (meznombroj, meznombras, signifas).

Neegalaĵo de Ĉebiŝev (demonstras, pruvas) (tiu, ke, kiu) en (ĉiu, iu) datuma aro, proksime ĉiuj de la (valoroj, valoras) estos esti proksime al la (meznombro, signifi) valoro, kie la signifo de "proksime al" estas precizigita per la varianca devio.

[redaktu] Rapidaj kalkulaj manieroj

Malmulte pli rapida (grave por (kuro, kurante, rulante) varianca devio) vojo al komputi la loĝantara varianca devio estas donita per la formulo (sed ĉi tiu povas _exacerbate_ eraro de rondigo foren):

$\sigma\ = \sqrt{\frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^N{{x_i}^2} - \frac{\left(\sum_{i=1}^N{x_i}\right)^2}{N}\right)} = \sqrt{\frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^N{{x_i}^2}\right) - \overline{x}^2}$

Simile por specimena varianca devio:

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N{{x_i}^2} - N\left(\overline{x}\right)^2}{(N-1)}\ }$

Aŭ de (kuro, kurante, rulante) (sumoj, sumas):

$s = \sqrt{\frac{N\sum_{i=1}^N{{x_i}^2} - \left(\sum_{i=1}^N{x_i}\right)^2}{N(N-1)}}$

[redaktu] An aksioma (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo)

Estu $X=(X_1,X_2, \dots ,X_n)$ esti vektoro de reelaj nombroj.

$X\in \mathbb{R}^n, \qquad n\in \mathbb{N}$

Ni skribi:

$X \approx \mu \pm \sigma$

signifo (tiu, ke, kiu) $\ X$ estas taksita per la (meznombro, signifi) valoro $\ \mu$ , kaj la varianca devio estas $\ \sigma$ .

$\ \mu$ estas reela nombro, kaj $\ \sigma$ estas _signless_ reela nombro, signifo (tiu, ke, kiu) $\ \sigma$ kaj $\ -\sigma$ estas (konsiderita, konsideris) ekvivalento.

$\mu \in \mathbb{R}, \qquad \sigma \in \mathbb{R}/\lbrace{ +1,-1 \rbrace}$

La (kesto, okazo) $n = 2$ estas por difino:

$X \approx \frac{X_1+X_2}{2} \pm \frac{|X_1-X_2|}{2}$

(Tononomo, Noto, Noti) la speciala okazo $\ X_1=X_2$ :

$X \approx X_1 \pm 0$

La (kesto, okazo) :

$(+1,-1) \approx 0 \pm 1 = \pm 1$

pravigas la uzi de la signo $\ \pm$

Kelkaj reguloj apliki. Se $\ X=(X_1,X_2)\approx \mu \pm \sigma$ tiam

Simetrio: $\ (X_2,X_1)\approx \mu \pm \sigma$
Aldono: $\ a+X=(a+X_1,a+X_2)\approx (a+\mu) \pm \sigma$
Multipliko: $\ aX=(aX_1,aX_2)\approx a \mu \pm a\sigma$

La aldona regulo (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati regulo de asocieco,

$\ a+(\mu \pm \sigma)= (a+\mu) \pm \sigma$

kaj la multiplika regulo (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati regulo de distribueco,

$\ a(\mu \pm \sigma) = a \mu \pm a\sigma$

(Do, Tiel):

$X \approx \mu \pm \sigma = \mu+\sigma (\pm 1)$

Konsideri la povo (sumoj, sumas):

$\ s_j=\sum_k{X_k^j}, \quad j\in \mathbb N_0$

((Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) $\ s_0=n.\qquad s_1=X_1+\dots+X_n. \qquad s_2=X_1^2+\dots+X_n^2.$ )

La povo (sumoj, sumas) $\ s_j$ estas simetriaj funkcioj de la vektoro $\ X$ , kaj la simetriaj funkcioj $\ \mu$ kaj $\ \sigma$ estas skribita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de ĉi tiuj tiamaniere:

$\ \mu=s_1s_0^{-1}$

$\ \sigma=(s_0s_2-s_1^2)^{1/2}s_0^{-1}$

aŭ

$\ X \approx \frac{s_1 \pm \sqrt{s_0s_2-s_1^2}}{s_0}$

Ĉi tiu formulo estas _readily_ (kontrolita, kontrolis) por la speciala okazo $n = 2$ , kaj ĝi ĝeneraligas la difino al $n\in \mathbb{N}$ konfitanta la reguloj.

La (kesto, okazo) $n = 1$ estas:

$X \approx X_1 \pm 0$

(Ekzemploj, Ekzemplas):

$(1) \approx 1 \pm 0$

$(1,1) \approx 1 \pm 0$

$(1,-1) \approx 0 \pm 1$

$(1,1,1) \approx 1 \pm 0$

$(1,1,-1,-1) \approx 0 \pm 1$

Kiam la varianca devio estas nulo, la signo $\ \pm 0$ (majo, povas) esti nefarita, kaj la signo $\approx$ estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per $\ =.$

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

Norma eraro
Varianco
_Volatility_
Neegalaĵo de Ĉebiŝev
Saturigo (kolora teorio)
Radiko (meznombro, signifi) kvadrato
(Meznombro, Signifi)
Dekliveco
_Kurtosita_
Krudaj poentoj
Normaj poentoj
Algoritmoj por kalkulado de varianco
(Neegalaĵo sur lokaj kaj skalaj parametroj, Neegalaĵo pri lokaj kaj krustaj parametroj)
Fida intervalo

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Varianca_devio_1241.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Teorio de probabloj | Statistiko