Parábola (matemáticas)

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Para otros usos de este término, véase parábola.

La parábola es una de las secciones cónicas. Es una curva plana que se puede ajustar, en relación a un sistema de coordenadas ortonormales, con la relación

$y = a x^2 + bx + c \,$

$y - y_0 = a(x - x_0)^2 \,$

o con la aplicación de una transformación que represente un giro a dicha relación.

Se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de uno fijo, llamado foco (F), y de una recta cualquiera, llamada directriz (D).

[editar] Ecuaciones

[editar] Ecuación canónica

La ecuación de la parábola toma su forma más simple o reducida cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes de coordenadas.

Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es:

$y^2 = 4px \,$

También suele utilizarse a en lugar de p, siendo 2p la distancia de la directriz al foco F. Esta distancia se denomina parámetro de la directriz y su valor coincide con el de la ordenada focal, es decir, con la mitad de la longitud de la cuerda trazada por el foco perpendicularmente al eje.

En general, para cualquier parábola (con eje paralelo al eje x) de vértice (h,k) se tiene que su ecuación canónica (o principal) es:

$(y-k)^2 = 4p(x-h) \,$

La orientación del eje de la parábola la da el elemento que no esté al cuadrado; así una parábola en que el elemento al cuadrado es x, quiere decir que su eje es paralelo al eje y.

Además, el signo de 4p indica la dirección de la apertura de la parábola: si 4p es positivo (mayor que cero), entonces la apertura es en dirección en que crece el respectivo eje.

[editar] Ecuación general

Parábola con vértice en h, k y eje paralelo respectivamente al eje x o al eje y:

$(y - k)^2 = 4p(x - h) \,$

$y^2 - 2ky + k^2 = 4px - 4ph \,$

en donde

$D = -4p \,$

$E = -2k \,$

$F = k^2 + 4ph \,$

$x^2 + Dx + Ey + F = 0 \,$

Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas. El término lineal de la ecuación indicará sobre qué eje está ubicado el foco (eje focal), y el signo del mismo, hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda).

[editar] Tangente de la parábola

Sea hallar la tangente a la parábola

$y^2 = 2px \,$

en uno de sus puntos de coordenadas (x1, y1). Derivando respecto a x los dos miembros de la fórmula resulta:

$2 y y' = 2 p$

Despejando y´:

$y' = p / y; y' 1 = p / y 1$

La ecuación de la tangente será:

$y - y 1 = p / y 1 (x - x 1)$

y quitando denominadores:

$y_1 y - y_1^2 = px - px_1$

Haciendo la trasposición de términos:

$y_1 y = px + y_1^2 - px_1 = px + 2px_1 - px1$

Por tanto, la ecuación de la tangente es:

$y_1 y = px + px_1 \,$

Es importante mencionar que una conclusión como la anterior la podemos obtener utilizando únicamente geometría analítica. Ya que si consideramos la ecuación $y = a x 2$ entonces un punto de ella es $(x 1, a x 12)$ por lo que la recta $y - a x 12 = m (x - x 1)$ es la ecuación de una recta secante a la parábola, si buscamos las condiciones adecuadas substituyendo la segunda ecuación en la primera, y buscamos que la recta secante se intercepte una sola vez con la parábola encontraremos que el valor de la pendiente corresponde al de la derivada.

Se comprueba que desde el punto de vista meramente formal, para hallar la ecuación de la tangente basta escribir la ecuación de la parábola en la forma y·y = px + px, y reemplazar en ella una y por y1 y una x por x1.