פרבולה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פרבולה

פרבולה (מיוונית - παραβολή) היא חתך חרוט הנוצר על ידי חיתוך של חרוט ומישור המשיק לחרוט, או מישור המקביל למישור משיק לחרוט. אם המישור עצמו משיק לחרוט, מתקבלת פרבולה מנוונת, כלומר קו ישר. ניתן להגדיר פרבולה גם כמקום גאומטרי של הנקודות אשר המרחק שלהן מנקודה מסוימת (המוקד) והמרחק שלהן מישר נתון (הישר המנחה) הוא שווה.

תוכן עניינים

1 הגדרות וסקירה כללית
- 1.1 משוואות
2 ראו גם
3 מיקומו של המוקד
4 תכונת השיקוף של המשיק
5 פרבולות בעולם הפיזיקלי
6 בניית פרבולה
- 6.1 בנייה על ידי קיפולי נייר
7 קישורים חיצוניים

[עריכה] הגדרות וסקירה כללית

גרף המציג את תכונת השיקוף, וכן את נקודת המוקד (כחול) והקו הישר המנחה (ירוק).

בקואורדינטות קרטזיות, פרבולה עם ציר המקביל לציר y עם נקודת הקיצון $(h^{}_{},k)$ , נקודת מוקד $(h^{}_{},k + p)$ , והקו הישר המנחה $y^{}_{} = k - p$ מקיימת את המשוואה הבאה -

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

ניתן לאפיין פרבולה גם על ידי חיתוך חרוט עם אקסצנטריות 1. כתוצאה מכך, כל הפרבולות הינן דומות. פרבולה יכולה להתקבל גם כגבול של סדרה של אליפסות כאשר אחד מהמוקדים שלה נשאר קבוע ואת השני מרחיקים באופן שרירותי לכיוון הנגדי. פרבולה היא טרנספורמציה הפיכה של קרדיואיד (עקום דמוי לב).

לפרובלה יש ציר סימטריה של שיקוף אחד בלבד, אשר עובר דרך המוקד ומאונך לישר המנחה. נקודת החיתוך של ציר זה והפרבולה היא נקודת הקיצון ("נקודת השיא") של הפרבולה. אם נסובב את הפרבולה סביב ציר זה בתלת-ממד, נקבל צורה הידועה כפרבולואיד סיבובי.

הפרבולות מהוות פתרון למגוון בעיות פיזיקליות, ולפיכך מצויות במצבים רבים בטבע.

[עריכה] משוואות

[עריכה] קרטזיות

ציר סימטריות אנכי:

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \quad$

ציר סימטריות אופקי:

$(y - h)^2 = 4p(x - k) \quad$

משוואה ריבועית (ציר סימטריות אנכי):

$y = ax^2 + bx + c \,$

כאשר $a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k$ ונקודת הקיצון היא $\left( \frac{-b}{2a},\ \frac{4ac - b^2}{4a} \right)$ .

משוואה ריבועית (ציר סימטריות אופקי):

$x = ay^2 + by + c \;$

a, b, ו-c הם כמו לעיל. הקואורדינטות של נקודת הקיצון הן במהופך.

[עריכה] פרמטריות

$x = 2pt + h \,$

$y = pt^2 + k \,$

פרבולה ומשוואת הפרבולה

[עריכה] קואורדינטות קוטביות וסמילאטוס רקטום

בקואורדינטות קוטביות, פרבולה עם מוקד בראשית הצירים, ונקודת הקיצון על החלק השלילי של ציר x, נתונה על ידי המשוואה הבאה:

$r (1 - \cos \theta) = l \,$

כאשר l הוא הסמילאטוס רקטום (מלטינית, חצי-צד בקו ישר): המרחק בין המוקד עד לפרבולה עצמה, הנמדד לאורך קו הניצב לציר. זהו פעמיים המרחק עד לפסגה.

[עריכה] צורה של ממופת-גאוס

צורה ממופת גאוס: $(tan 2 φ,2tanφ)$ עם הניצב $(cosφ,sinφ)$ .

[עריכה] ראו גם

[עריכה] מיקומו של המוקד

בהנתן פרבולה המקבילה לציר הy עם נקודת הקיצון (0,0), הנתונה על ידי המשוואה:

$y = a x^2, \qquad \qquad \qquad (1)$

אז קיימת נקודה $(0,f^{}_{})$ - המוקד - כך שכל נקודה P על הפרבולה תהיה במרחק שווה הן מהמוקד והן מישר הניצב לצירה הסימטריה של הפרובלה (הישר המנחה), שבמקרה זה מקביל לציר הx. כיוון שנקודת הקיצון היא אחת מהנקודות P, הרי שמכאן הישר המנחה עובר דרך הנקודה $(0,-f^{}_{})$ . לכן לכל נקודה $P^{}_{}=(x,y)$ , היא תהיה במרחק שווה מהנקודות $(0,f^{}_{})$ ו- $(x,-f^{}_{})$ . אנו רוצים למצוא את הערך של f המקיים את התכונה הזו.

יהי F נקודת המוקד, וQ הנקודה $(x,-f^{}_{})$ . מההגדרה, הישר FP שווה באורכו לישר QP.

$\| FP \| = \sqrt{ x^2 + (y - f)^2 },$

$\| QP \| = y + f.$

$\| FP \| = \| QP \|$

$\sqrt{x^2 + (a x^2 - f)^2 } = a x^2 + f \qquad$

נעלה בריבוע את שני האגפים,

$x^2 + (a x^2 - f)^2 = (a x^2 + f)^2 \qquad$

$= a^2 x^4 + f^2 + 2 a x^2 f \quad$

$x^2 + a^2 x^4 + f^2 - 2 a x^2 f = a^2 x^4 + f^2 + 2 a x^2 f \quad$

נצמצם איברים זהים בשני האגפים,

$x^2 - 2 a x^2 f = 2 a x^2 f, \quad$

$x^2 = 4 a x^2 f. \quad$

נחלק את שני האגפים ב $x^2_{}$ (x שונה מאפס לרוב. במידה וכן, ניתן להעביר אגפים ולהוציא אותו מחוץ לסוגריים ולהמשיך משם)

$1 = 4 a f \quad$

$f = {1 \over 4 a }$

עתה נניח כי p=f ואז המשוואה של הפרבולה הופכת ל:

$x^2 = 4 p y \quad$

מ.ש.ל.

[עריכה] תכונת השיקוף של המשיק

המשיק לפרבולה מבוטא על ידי המשוואה (1) ויש לו את השיפוע

${dy \over dx} = 2 a x = {2 y \over x}$

קו זה חוצה את ציר y בנקודה $(0,-y)=(0-a\cdot x^2)$ , ואת ציר x בנקודה $\left( \frac{x}{2},0\right)$ . נקרא לנקודה זו G. נקודה G היא גם נקודת האמצע בין F ל-Q.

$F = (0,f), \quad$

$Q = (x,-f), \quad$

$G = {F + Q \over 2} = {(0,f) + (x,-f) \over 2} = {(x,0) \over 2} = \left({x \over 2}, 0\right).$

כיוון ש-G היא נקודת האמצע של הישר FQ, הרי שמכאן נובע:

$\| FG \| \cong \| GQ \|,$

וידוע כבר כי שP נמצא במרחק שווה מF ו-Q:

$\| PF \| \cong \| PQ \|,$

ושלישית, הישר GP שווה לעצמו, לכן:

$\Delta FGP \cong \Delta QGP$

מכאן נובע כי: $\angle FPG \cong \angle GPQ$ .

את הישר QP ניתן להאריך מעבר לP לנקודה T כלשהי, ואת הישר GP ניתן להאריך מעבר לP לנקודה R כלשהי. לכן $\angle RPT$ ו- $\angle GPQ$ הן זוויות קודקודיות, כלומר הן שוות. אולם $\angle GPQ$ שווה ל $\angle FPG$ . לכן $\angle RPT$ שווה ל $\angle FPQ$ .

הישר RG משיק לפרבולה בנקודה P, לכן כל אלומת אור המוחזרת מנקודה P תתנהג כאילו הקו RG הוא מראה, ולכן האלומה תשוקף על ידי מראה זו.

נניח כי אלומת אור נעה על הקו האנכי TP , ומוחזרת מנקודה P. זווית הנטייה של הקרן אור מהמראה היא $\angle RPT$ , לכן כאשר הקרן מוחזרת, זווית ההחזרה חייבת להיות שווה $\angle RPT$ . אולם הראינו כי $\angle FPG$ שווה ל $\angle RPT$ . לכן האלומה מוחזרת לאורך הישר FP היישר אל המוקד.

מסקנה: כל אלומת אור הנעה אנכית כלפי מטה בשקערורית של הפרבולה (במקביל לציר הסימטריה), תוחזר מהפרבולה היישר לכיוון המוקד. תכונה זו משמשת בבניית מחזיר-אור פרבולי.

[עריכה] פרבולות בעולם הפיזיקלי

בטבע, ניתן למצוא קירובים של פרבולות ופרבולואידים בסיטואציות רבות ומגוונות. הדוגמה הידועה ביותר להימצאות הפרבולה בהיסטוריה של הפיזיקה היא המסלול של חלקיק או גוף בתנועה תחת השפעה של שדה כבידה אחיד ללא התנגדות אוויר (למשל, כדור שעף באוויר ללא כוחות מניעים ובהזנחת חיכוך האוויר). המסלול הפרבולי של גופים התגלה בניסויים של גלילאו בתחילת המאה ה-17, כאשר האחרון ביצע ניסויים עם כדורים המתגלגלים על מישורים משופעים. מאוחר יותר, נכונות הצורה הפרבולית של המסלולים הוכחה על ידי אייזק ניוטון. לעצמים לא-נקודתיים (כגון שחיין הקופץ ממקפצה לבריכה), העצם עצמו יכול לבצע תנועה מורכבת של תנועות עצמיות כגון סיבובים או רטט, אך מרכז המסה של העצם יבצע בכל זאת מסלול פרבולי. באופן כללי, כל המסלולים הללו הן קירוב של פרבולה; נוכחות התנגדות האוויר תמיד מעוותת את הצורה של המסלול, למשל, אולם במהירויות נמוכות, הצורה מהווה קירוב טוב לפרבולה. במהירויות גבוהות יותר, כמו בבליסטיקה, הצורה מעוותת מאד, ולא מזכירה כלל פרבולה.

צורה פרבולית הנוצרת על פני השטח של נוזל תחת סיבוב

מצב אחר בו פרבולה יכולה להופיע בטבע הוא בתנועות של גרמי שמים זה סביב זה, כלומר תנועה של כוכב-לכת או עצם אחר תחת השפעה של כוח הכבידה של השמש. המסלולים הפרבוליים הם מקרים מאוד מיוחדים בטבע; מסלולים אשר יוצרים היפרבולה או אליפסה נפוצים הרבה יותר. למעשה, המסלול הפרבולי הוא מקרה גבולי בין שני הסוגים הללו של מסלולים.

ניתן למצוא קירובים של פרבולות גם בצורה של הכבלים בגשרים תלויים. כבלים התלויים בחופשיות לא מתארים פרבולות אלא יותר עקומים קטנריים. אולם, תחת ההשפה של עומס אחיד (לדוגמה, הסיפון של הגשר), צורת הכבלים מעוותת לכמעט פרבולה.

כמו כן, גם פרבולואידים מופיעים במספר מצבים פיזיקליים. הדוגמה הידועה ביותר היא מחזיר-אור פרבולי, העשוי ממראה או מתקן מחזיר אור אחר אשר מרכז אור או צורות אחרות של קרינה אלקטרומגנטית לנקודת מוקד משותפת. העיקרון של המחזיר-אור הפרבולי התגלה על ידי ארכימדס במאה ה-3, אשר בנה מראות פרבוליות כדי להגן על סירקוסאי שבסיציליה מפני הצי הרומאי, על ידי ריכוז קרני האור בכדי להעלות באש את הספינות הרומיות. העיקרון יושם גם בטלסקופים במאה ה-17. היום, ניתן למצוא מחזירי-אור פרבוליים במיקרוגל וצלחות אנטנה של הלווין.

ניתן למצוא גם את צורת הפרבולואיד בפני השטח של נוזל הנמצא במיכל ומסובב סביב הציר המרכזי. במקרה זה, הכוח הצנטריפוגלי (כוח מדומה), גורם לפני השטח של הנוזל לעלות על הקירות של המיכל תוך כדי קבלת צורה של משטח פרבולואידי.

[עריכה] בניית פרבולה

ניתן לבנות פרבולה מצורה גאומטרית בדרך הבאה: צייר נקודת מוקד F, נקודת קיצון (נקודת השיא של הפרבולה), ישר מנחה q, וקו ישר r העובר דרך נקודת הקיצון ומקביל לישר q. בחר נקודה Q₁ על הישר המנחה. צייר את הקו הישר FQ₁ אשר חוצה את הישר r בנקודה R₁. קו ישר העובר דרך R₁ ומאונך לישר FQ₁ יחתוך קו אחר אשר עובר דרך Q₁ ומאונך לישר q בנקודה P₁. הנקודה P₁ היא על הפרבולה והקו R₁P₁ משיק לפרבולה. בחר נקודה נוספת Q₂ על הישר המנחה q וחזור על הצעדים לפי התבנית לעיל בכדי לקבל את הנקודה P₂. המשך עם הנקודות $Q 3, P 3, Q 4, P 4, Q 5, P 5$ , וכו'. אם הנקודות $Q 1, Q 2, Q 3,...$ היו משורטטות ברצף, הרי שאת הנקודות $P 1, P 2, P 3 ...$ אפשר היה לשרטט ברצף ולקבל את הפרבולה.

[עריכה] בנייה על ידי קיפולי נייר

צייר קו ישר על פיסת נייר, ונקודה במקום כלשהו שלא על הקו. קפל את הנייר כך שהנקודה נוגעת בקו וקמט את הקיפול. עשה זאת מספר פעמים. המעטפה שתיווצר על ידי הקימוטים תתקבל בצורה של פרבולה נאה.

ניתן ליצור אליפסה או היפרבולה בצורה דומה על ידי שימוש במעגל ונקודה.

[עריכה] קישורים חיצוניים

ד"ר ארליך - על תכונה מיוחדת של פרבולה
MathWorld: פרבולה (אנגלית)

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A4/%D7%A8/%D7%91/%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94.html

קטגוריות: גאומטריה | חתכי חרוט

פרבולה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרות וסקירה כללית

[עריכה] משוואות

[עריכה] קרטזיות

[עריכה] פרמטריות

[עריכה] קואורדינטות קוטביות וסמילאטוס רקטום

[עריכה] צורה של ממופת-גאוס

[עריכה] ראו גם

[עריכה] מיקומו של המוקד

[עריכה] תכונת השיקוף של המשיק

[עריכה] פרבולות בעולם הפיזיקלי

[עריכה] בניית פרבולה

[עריכה] בנייה על ידי קיפולי נייר

[עריכה] קישורים חיצוניים

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות