مشتق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

فهرست مندرجات

۱ مقدمه
۲ تعریف
- ۲.۱ نحوه‌ی نمایش
۳ مثال
۴ تاریخچه
۵ مشتقات مراتب بالاتر
- ۵.۱ نحوه‌ی نمایش
۶ تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه
۷ تابع مشتق‌پذیر
۸ شرایط مشتق‌پذیری
۹ کاربردها
۱۰ جستارهای وابسته

[ویرایش] مقدمه

شیب خط مماس در روش لایپ نیتز (خط $\triangle\,$ )

مشتق یکی از دو مفهوم اصلی حسابان است که مقدار تغییرات لحظه‌ای تابع را نشان می‌دهد.

[ویرایش] تعریف

مشتق تابعی مانند $f$ ، تابع $' f$ است که مقدارش در $x$ با معادله‌ی زیر تعریف می‌شود:

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

به شرطی که این حد موجود باشد.

بر طبق این تعریف مشتق مقدار تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات به صفر میل می‌کند.

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

مشتق اول یک تابع تک متغیره را می‌توان به صورت‌های زیر نشان داد:

$f'(x)$
f⁽¹⁾
$\frac{df}{dx}$

که این نحوه‌ی نمایش را نمایش دیفرانسیلی مشتق می‌نامند.

[ویرایش] مثال

الگو:Loupe

تابع $f(x) =\,$	مشتق $f'(x) =\,$	شرایط
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a x\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$1 \over x\,\!$	$- {1 \over x^2}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}\,\!$	${1 \over 2\sqrt{x}}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}_+^*$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*$
$a x^c\,\!$	$acx^{c-1}\,\!$	$c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}$
$\cos(x)\,\!$	$-\sin(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\sin(x)\,\!$	$\cos(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\tan(x)\,\!$	$1 \over \cos^2(x)$ ou $1+\tan^2(x)\,\!$	$x\neq {\pi \over 2} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
$a^x\,\!$	$a^x \ln a\,\!$	$a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}$
$\ln \|x\|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\exp{x}\,\!$	$\exp{x}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$

[ویرایش] تاریخچه

مشتق از مسائل مهم ریاضی است که موضّع آن نیوتن و لایبنیتز بودند و حد مقدمه آن است. نیوتن سرعت لحظه‌ای را به کمک قوانین حدگیری و لایبنیتز شیب خط مماس بر منحنی‌ها را با استفاده از قوانین حدگیری محاسبه کرد و هر یک در حالت کلی به مشتق رسید.

[ویرایش] مشتقات مراتب بالاتر

مشتقات مراتب بالاتر یک تابع از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آیند. با مشتق گیری دوباره از مشتق یک تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب دیگر مشتق‌های مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند.

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

مشتقات مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و چهارم) تابع f را می‌توان به دو صورت زیر نمایش داد:

$f''$ و $f'''$ و $f''''$
f⁽²⁾ و f⁽³⁾ و f⁽⁴⁾

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه

اگر مشتق تابع $f$ در نقطه‌ای مانند $x$ موجود و معین باشد، گفته می‌شود که تابع $f$ در نقطه‌ی $x$ مشتق‌پذیر است.

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر

اگر تابعی در هر نقطه از دامنه‌اش مشتق‌پذیر باشد، تابع مشتق‌پذیر نامیده می‌شود.

[ویرایش] شرایط مشتق‌پذیری

برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند $x$ مشتق‌پذیر باشد، باید در یک همسایگی آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد. البته این شرط لازم برای مشتق پذیری تابع در یک نقطه است.برای مثال در حالت های زیر تابع در نقطه a پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست 1نقطه بازگشتی مشتق بینهایت میشود 2نقطه زاویه دار مشتق چپ و راست برابر نیست

[ویرایش] کاربردها

[ویرایش] جستارهای وابسته

حساب دیفرانسیل
انتگرال
مشتق ضمنی
مشتق جزئی
مشتق روی مسیر
پیوستگی

برگرفته از «http://fa.wikipedia.org../../../%D9%85/%D8%B4/%D8%AA/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82.html»

رده‌های صفحه: حسابان | ریاضیات

مشتق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

فهرست مندرجات

[ویرایش] مقدمه

[ویرایش] تعریف

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

[ویرایش] مثال

[ویرایش] تاریخچه

[ویرایش] مشتقات مراتب بالاتر

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر

[ویرایش] شرایط مشتق‌پذیری

[ویرایش] کاربردها

[ویرایش] جستارهای وابسته

Views

گشتن

جستجو

زبان‌های دیگر