Derivade

De Vichipedie, la enciclopedie libare dute in marilenghe.

La derivade e je insieme cul integrâl une da lis dôs operazions centrâls dal calcul (cjale ancje il teoreme fondamentâl dal calcul).

In matematiche, la derivade $f'$ , la si definìs par mieç dal limit:

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$

I simbui doprâts pe matematiche a son diviers, e spes l'ûs al dipint dome dal gust personâl; oltri a $f'$ si cjatin ancje:

$\frac{df}{dx};~ \frac{d}{dx}f;~ D_x f;~\dot{f}$

[cambie] Significât de derivade

Intuitivementri la derivade e esprim:

la velocitât dal cambiament de funzion. Pensant ae definizion ca parsore, si viôt come la variazion "h" de funzion

(f(x+h)-f(x)) intun interval di timp e ven confrontade cul valôr "h" dal timp che al è passât tra x e x+h.

Un esempli inte cinematiche e je la espression de posizion di un pont esprimude in funzion dal timp, che par solit si scrîf come x(t). Se cumò o vuelin savê la velocitât di moviment dal pont, o vin di derivâ la funzion de posizion rispiet al timp. Difat, la velocitât e si gjave fûr dividint il spazi par il timp, par cui cjapant la distance percorude (es. x(t+h)-x(t)) e dividintle pal timp passât "h" nus ven fûr la velocitât medie tal interval (t,t+h): se cumò o fasin tindi a zero il timp, ven a stâi cjapin intervai simpri plui piçui di timp, o cjatarin la velocitât istantanee; chest procès al è propi compagn de definizion di derivade.

La rete e je la tangjent ae funzion f(x) tal pont x0

La rete e je la tangjent ae funzion f(x) tal pont x₀

la tangjent dal pont di viste gjepmetric: la derivade di une funzion intun pont A e misure la pendence de rete tangjent al grafic de funzion in chel pont

[cambie] Derivabilitât

Une funzion e je diferenziabil intun pont x se e esist la sô derivade in x; par chest une funzion che no je continue in x no sarà diferenziabil, parcè che in chel pont no esistarà la tangjent. Di chê altre bande, nol è sigûr che une funzion continue sedi diferenziabil

[cambie] Derivade n-esime

La derivade n-esime f⁽ⁿ⁾ di une funzion f e je la funzion che o cjatin derivant par n voltis la funzion f. O fevelin duncje di derivade seconde, derivade tierce e cussì indevant; tal scrivi si doprin in gjenar chescj simbui:

$f'' = f^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}$ ,

$f''' = f^{(3)} = \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}$ ,

...

$f^{(n)} = \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n}$ .

Une funzion derivabil no je però par fuarce derivabil n voltis: par esempli, la funzion ca sot e à une derivade prime, ma no à une derivade seconde.

f (x) = x | x |

Difat, la derivade di f e je f' (x) = 2 |x|, che no je a sô volte derivabil.

[cambie] Regulis di derivazion

Calcolâsi ogni volte il limit de funzion al puarte vie un grum di timp; par chest in gjenar si doprin lis derivadis fondamentâls: derivadis di funzions semplicis e di ûs frecuent di meti insieme par mieç di regulis di derivazion.

Some: ${\left( {f \pm g} \right)' = f' \pm g'}$
Prodot (regule di Leibniz): ${\left( {f(x)g(x)} \right)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)}$
Cuozient:
${D\left( {{f(x) \over g(x)}} \right) = {{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)} \over {g(x)^{\rm 2}}}}$
Funzion componude: ${D\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)}$
Funzion disledrosade:
${D\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f'\left( x \right)}} = {{\rm 1} \over {f'\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right)}}}$

[cambie] Derivadis fondamentâls

${D\left( \textrm{costante} \right) = 0 }$
${D\left( {ax} \right) = a }$
${D\left( {x^n } \right) = nx^{n - {\rm 1}} }$
${D\left( {x^2 } \right) = 2x }$
$D\left( e^x \right) = e^x$
$D\left( a^x \right) = a^x \ln a$
$D\left( \ln x \right) = \frac 1 x$
$D\left( \sin x \right) = \cos x$
$D\left( \cos x \right) = - \sin x$
$D\left( \tan x \right) = D\left( \frac {\sin x}{\cos x} \right) = 1 + \tan^2 x = \frac 1{\cos^2 x}$
$D\left( {\rm cotan\,} x \right) = D\left( \frac {\cos x}{\sin x} \right) = \frac 1{\sin^2 x}$
$D\left( \arcsin x \right) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}}$
$D\left( \arccos x \right) = \frac 1{ - \sqrt {1 - x^2}}$
$D\left( \arctan x \right) = \frac 1 { 1 + x^2}$
$D\left( \sinh x \right) = \cosh x$
$D\left( \cosh x \right) = \sinh x$
$D\left( \tanh x \right) = \frac 1 {\cosh^2 x}$

[cambie] Derivadis di funzions componudis

${D\left( {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right] } \right) = {f'[{g\left( x \right)} ]{g'\left( x \right)}} }$
${D\left( {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n } \right) = n\left[ {f\left( x \right)} \right]^{n - {\rm 1}} f'\left( x \right)}$
${D\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right) = {{\rm 1} \over {{\rm 2}\sqrt {f\left( x \right)} }}} f'\left( x \right)$
${D\left( {{\rm ln}f\left( x \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right) = {{f'\left( x \right)} \over {f\left( x \right)}}}$
${D\left( {e^{f\left( x \right)} } \right) = e^{f\left( x \right)} f'\left( x \right)}$
${D\left( {{\rm sin}f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right){\rm cos}f\left( x \right)}$
${D\left( {{\rm cos}f\left( x \right)} \right) = - f'\left( x \right){\rm sin}f\left( x \right)}$
${D\left( {\arctan f\left( x \right)} \right) = {{f'\left( x \right)} \over {{\rm 1} + \left[ {f\left( x \right)} \right]^{\rm 2} }}}$
${{D\left( {f\left( x \right)^{g\left( x \right)} } \right) = f\left( x \right)^{g\left( x \right)} \left\{ {g'\left( x \right){\rm ln}f\left( x \right) + g\left( x \right){{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right)} \right\}}}$