Производная функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние Δx = x - x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной - и есть производная в точке x0.

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние Δx = x - x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной - и есть производная в точке x₀.

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если таковой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Содержание

1 Определение
2 Пример нахождения производной по определению
3 Производные высших порядков
4 См. также
5 Ссылки

[править] Определение

Пусть в некоторой окрестности точки x₀ определена функция f. Если мы возьмём произвольное число x в этой окрестности, то приращение аргумента (обозначается Δx) в этом случае определяется как x−x₀, а приращение функции (Δy) — как f(x)−f(x₀). Тогда, если существует предел $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$ , то его и называют производной функции f в точке x₀.

Производной функцией данной функции называется функция, которая в любой точке области определения равна производной данной функции в этой точке.

Производная обозначается как $f'(x)$ , читается «эф-штрих от икс».

Функция, обладающая конечной производной в точке $x$ , называется дифференцируемой в точке x.

[править] Пример нахождения производной по определению

Пусть дана функция y=c, где c — некоторая константа. Тогда при любом x₀ и при любом Δx изменение (приращение) функции равно нулю, следовательно, и производная такой функции равна нулю.

[править] Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно:

производная нулевого порядка — сама функция
производная n-го порядка для натурального n, большего 0, — производная производной (n−1)-го порядка

Иногда вместо «производная n-го порядка» говорят «n-я производная».

Производная n-го порядка функции f обычно обозначается через f⁽ⁿ⁾(x)

если n мало (1, 2, 3) — то употребляется соответственное количество штрихов, f′(x), f′′(x), f′′′(x), читается «эф-штрих от икс»; о второй — «эф-два-штриха от икс» и. т. д.
Исключительно редко, можно встретить историческое обозначение производной с помощью римской системы счисления (первая производная: f′(x), вторая: f^II(x), шестнадцатая: f^XVI(x)).

При вычислении производных высших порядков часто используются следующие формулы:

${(a^x)}^{(n)} = {a^x \ln^n a}$
${(e^x)}^{(n)} = e^x$
${(\sin ax)}^{(n)}=a^n {sin(ax+{\pi n \over 2})}$
${(\cos ax)}^{(n)}=a^n {cos(ax+{\pi n \over 2})}$
$~((ax+b)^\beta)^{(n)}=a^n \beta (\beta - 1)...(\beta - n + 1)(ax+b)^{\beta-n}$
$(\ln |x|)^{(n)} = {(-1)^{n-1}(n-1)! \over x^n \ln a}$

Если функцию f можно выразить как произведение двух функций $u * v$ , производные высших порядков для которых легко вычислять, удобно использовать формулу Лоренца:

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$