导数

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微积分学
微积分基础函数初等函数极限数列夹挤定理连续间断点一元微积分导数与微分高阶导数中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式洛必达法则导数的函数应用极值凹凸性曲率积分不定积分积分表三角函数积分表反函数积分表反双曲函数积分表对数函数积分表指数函数积分表无理函数积分表有理函数积分表定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式多元函数积分重积分二重-三重-多重广义重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程差分方程拉普拉斯变化法微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

导数是微积分中的重要概念。

[编辑] 定义

[编辑] 一般定义

设函数 $y=f(x)\,\!$ 在点 $\;x_0\;$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $\;x\;$ 在 $\;x_0\;$ 处取得增量 $Δ$ $\;x\;$ （点 $\;x_0+\Delta$ $\;x\;$ 仍在该邻域内）时，相应地函数 $\;y\;$ 取得增量 $Δ$ $y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\,\!$ ；如果 $Δ$ $\;y\;$ 与 $Δ$ $\;x\;$ 之比当 $Δ$ $x\to 0$ 时的极限存在，则称函数 $y=f(x)\,\!$ 在点 $\;x_0\;$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)\,\!$ 在点 $\;x_0\;$ 处的导数，记为 $f'(x_0)\;\!$ ，即

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ ，

也可记作 $\left.y^\prime\right|_{x=x_0}$ ， $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}$ 或 $\left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{x=x_0}$

若将一点扩展成函数 $f (x)$ 在其定义域包含的某开区间 $I$ 内每一个点，那么函数 $f (x)$ 在开区间 $\;I\;$ 内可导，这时对于 $\;I\;$ 内每一个确定的 $\;x\;$ 值，都对应着 $f (x)$ 的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数 $f (x)$ 的导函数，记作： $y'$ 、 $f'(x)\;\!$ 或者 $\frac{df(x)}{dx}$

导函数的定义表达式为：

$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

值得注意的是，导数是一个数，是指函数 $f (x)$ 在点 $x 0$ 处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

[编辑] 几何意义

如右图所示，设 $P 0$ 为曲线上的一个定点， $P$ 为曲线上的一个动点。当 $P$ 沿曲线逐渐趋向于点 $P 0$ 时，并且割线 $P P 0$ 的极限位置 $P 0 T$ 存在，则称 $P 0 T$ 为曲线在 $P 0$ 处的切线。

若曲线为一函数 $y = f (x)$ 的图像，那么割线 $P P 0$ 的斜率为：

$\tan \varphi=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

当 $P 0$ 处的切线 $P 0 T$ ，即 $P P 0$ 的极限位置存在时，此时 $\Delta x \to 0$ ， $\varphi \to \alpha$ ，则 $P 0 T$ 的斜率 $tanα$ 为：

$\tan \alpha=\lim_{\Delta x \to 0} \tan \varphi=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则 $f'(x 0) = tanα$ ，故导数的几何意义即曲线 $y = f (x)$ 在点 $P 0 (x 0, f (x 0))$ 处切线的斜率。

[编辑] 函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来：

$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

上式中，后两个式子可以定义为函数在 $x 0$ 处的左右导数：

左导数： $f'_{-}(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

右导数： $f'_{+}(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

用两个函数的例子来说明函数可导的条件。

sgn函数，符号函数

1.上面这个符号函数在 $x = 0$ 处可导吗？

解答

求出导数在 $x = 0$ 处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：

该函数在

x = 0

处的左导数为： $f'_{-}(0)=\lim_{ x \to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{ x \to 0^{-}}\frac{-1-0}{x-0} =\lim_{ x \to 0^{-}} - \frac{1}{x}$

这个极限发散，不存在，故这个符号函数在

x = 0

处不可导。

绝对值函数

2.上面这个绝对值函数在 $x = 0$ 处可导吗？

解答

求出导数在 $x = 0$ 处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：

该函数在

x = 0

处的左导数为： $f'_{-}(0)=\lim_{ x \to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{ x \to 0^{-}}\frac{-x-0}{x-0} =-1$

该函数在

x = 0

处的右导数为： $f'_{+}(0)=\lim_{ x \to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{ x \to 0^{+}}\frac{x-0}{x-0} =1$

该函数在

x = 0

处的左右导数皆存在，但由于左右导数不相等，故这个绝对值函数在

x = 0

处不可导。

注意：上面所用的定义式为推导定义式。

以上两个函数都是在定义域内连续的函数，由此就可以得出一个结论：连续的函数不一定处处可导。

但处处可导的函数一定处处连续。

证明如下

证明：设函数 $f (x)$ 上一点 $x 0$ ，函数在这一点可导，即 $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在，其中

$Δ y = f (x 0 + Δ x) - f (x 0)$

所以： $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y=\lim_{\Delta x \to 0}\left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x \right)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0$

即函数

f (x)

在

x 0

处连续。

[编辑] 导数的求导法则

在解决函数的导数问题上，利用定义是在过于麻烦。故利用定义来引申出几个基本的求导法则，以利于更好地解决各类求导的问题。

具体的求导方法，请参见求导。

[编辑] 四则运算的求导法则

求导法则
1	$[u(x) \pm v(x)]'=u'(x)+v'(x)$
2	$[u (x) v (x)]' = u'(x) v (x) + u (x) v'(x)$
3	$\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] '=\frac{u'(x) v(x)-u(x) v'(x)}{v^2 (x)}$

特别地，对于常数 $C$ ：

4	$[C v (x)]' = C v'(x)$
5	$\left[ \frac{C}{v(x)} \right] '=\frac{-C v'(x)}{v^2 (x)}$

以上法则的证明中，对于1，可以利用极限的运算法则验证；对于2，可以直接使用导数定义证明，证明如下：

证明 $[u (x) v (x)]' = u'(x) v (x) + u (x) v'(x)$

证明如下

- 证： $[u(x) v(x)]'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$ （导数的定义式）

$=\lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot v(x+\Delta x) + u(x) \cdot \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} \right]$

$=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v(x+\Delta x) + u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}$

= u'(x) v (x) + u (x) v'(x)

[编辑] 复合函数求导

求导法则
1	$[u (v (x))]' = u'(v) v'(x)$

[编辑] 反函数的求导

设函数 $y = f (x)$ 在 $x$ 的某个邻域内连续，严格单调，且在 $x$ 可导而且 $f'(y) \ne 0$ 不成立。则它的反函数 $x = f - 1 (y)$ 在 $y$ 可导，且有：: $[f^{-1}(y)]'=\frac{1}{f'(x)}$ 或者 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac {dx}{dy}}$

我们可以用一个例子来说明：试求函数 $y = arcsin x ( | x | < 1)$ 的导函数。

解：

$y = arcsin x ( | x | < 1)$ 是 $x=\sin y (\left| y \right| < \frac{\pi}{2})$ 的反函数，且 $x = sin y$ 在 $I_y = \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)$ 开区间上严格单调、可导，且 $(sin y)' = cos y > 0$ 因此由反函数求导法则可得：在对应区间 $I y = ( - 1,1)$ 内有：

$(\arcsin x)'=\frac {1}{(\sin y)'} = \frac {1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt {1-x^2}}$

[编辑] 参数方程和极坐标方程的求导

对于参数方程： $\begin{cases} x=\phi (t) \\ y=\psi (t) \end{cases}(\alpha <t<\beta)$ 其中 $φ(t)$ 和 $ψ(t)$ 可导，且 $\psi '(t) \ne 0$ ，于是可以根据复合函数求导法则和反函数求导法则可得参数方程的导数为：

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\phi '(t)}{\psi '(t)}$

对于极坐标方程 $\begin{cases} x=\rho (\theta) \cos \theta \\ y=\rho (\theta) \sin \theta \end{cases}$ ，根据参数方程的求导法则可得极坐标方程的导数为：

$\frac{dy}{dx}=\frac{\left[ \rho (\theta) \cos \theta \right] '}{\left[ \rho (\theta) \sin \theta \right] '} = \frac{\rho _{\theta)}^{'} \sin \theta + \rho \cos \theta}{\rho _{\theta)}^{'} \cos \theta - \rho \sin \theta}$

[编辑] 隐函数的求导

有关隐函数的定义，参见隐函数。

隐函数的求导方法的基本思想是要把方程 $F (x, y) = 0$ 中的看作 $x$ 的函数 $y (x)$ ，方程两端对 $x$ 求导，然后再解出隐函数的导数 $\frac{dy}{dx}$ 。

给出一个例子来进一步说明：: 试求由方程 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ 所确定的 $y$ 关于 $x$ 的隐函数的导数 $\frac{dy}{dx}$ ，其中 $(x, y > 0)$ 。
解：: 方程的两边同时对 $x$ 求导得：

$\frac{d(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{dx} = \frac{d \sqrt{a}}{dx}$

$\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{dy}{dx}= 0$

$\frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac{y}{x}} (x,y>0)$

通过例题，应当注意方程两边求导的对象是 $x$ ，而 $y$ 是用 $x$ 表示的，相当于一个 $x$ 的复合函数，故根据复合函数的求导法则： $[f(y)]'=f'(y) \cdot y_x^{'}$ 。本题中 $f(y)=\sqrt{y},f'(y)=\frac{1}{2} y^{-\frac{1}{2}},y_x^{'}=\frac{dy}{dx}$

[编辑] 基本函数的导数

基本导数公式
1	$C' = 0$
2	$(x n)' = n x n - 1$
3	$(sin x)' = cos x$
4	$(cos x)' = - sin x$
5	$(\tan x)'=\frac{1}{{\cos ^2}x}={\sec ^2}x$
6	$(\cot x)'=-\frac{1}{{\sin ^2}x}={\csc ^2}x$
7	$(sec x)' = sec x tan x$
8	$(csc x)' = - csc x cot x$
9	$(\ln \|x\|)'=\frac{1}{x}$
10	$(\log_{a} x)'=\frac{1}{x \ln a}$
11	$(e x)' = e x$
12	$(a x)' = a x ln a$ 其中 $a>0,a \ne 1$
13	$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14	$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
15	$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$
16	$(\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$