Trigonometrinen funktio

Wikipedia

Matematiikassa trigonometriset funktiot ovat kulman funktioita, jotka ovat tärkeitä, kun tutkitaan kolmioita tai mallinnetaan jaksollisia ilmiöitä. Trigonometriset funktiot määritellään yleisesti kulman sisältävän suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan yhtäpitävästi määritellä yksikköympyrään piirrettyjen janojen pituuksina. Modernimmat määritelmät esittävät ne sarjoina tai tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina, jolloin ne voidaan laajentaa käsittämään sekä positiiviset että negatiiviset luvut ja jopa kompleksiluvut. Kaikki nämä lähestymistavat esitellään edempänä.

Nykyään on käytössä kuusi trigonometrista perusfunktiota, jotka on taulukoitu alempana keskinäisine yhteyksineen. Näitä yhteyksiä pidetään usein varsinkin neljän viimeisen funktion määritelmänä, mutta ne voidaan määritellä yhtä hyvin myös geometrisesti tai muilla tavoilla ja johtaa sitten funktioiden väliset yhteydet.

Funktio	Lyhenne	Yhteydet
Sini	sin	$\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Kosini	cos	$\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\,$
Tangentti	tan	$\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Kotangentti	cot	$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Sekantti	sec	$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$
Kosekantti	csc (tai cosec)	$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,$

Ennen oli käytössä myös muutama nykyään vähän käytetty funktio, joiden arvoja myös taulukoitiin, kuten:

versaalisini: $(\operatorname{versin}\,{\theta} = 1 - \cos \theta)$
ekssekantti: $(\operatorname{exsec}\,{\theta} = \sec \theta - 1).$

Sisällysluettelo

1 Määritelmät suorakulmaisen kolmion avulla
2 Määritelmät yksikköympyrän avulla
3 Määritelmät sarjakehitelmien avulla
- 3.1 Suhde eksponenttifunktioon ja kompleksilukuihin
4 Määritelmät differentiaaliyhtälöiden avulla
- 4.1 Radiaanien merkitys
5 Muita määritelmiä
6 Käänteisfunktiot
7 Kaavoja
8 Sovelluksia

[muokkaa] Määritelmät suorakulmaisen kolmion avulla

Suorakulmaisessa kolmiossa on aina yksi 90 asteen (π/2 radiaanin) kulma, jota tässä merkitään γ:llä. Kulmat α ja β voivat vaihdella. Trigonometriset funktiot määräävät kolmion kulmien suhteiden ja sisäkulmien suuruuksien väliset yhteydet.

Määritelläksemme trigonometriset funktiot kulmalle α, aloitamme mielivaltaisesta suorakulmaisesta kolmiosta, jossa on kulma α:

Käytetään kolmion sivuille seuraavia nimityksiä:

Hypotenuusa on suoran kulman vastainen sivu, jota tässä merkitään h:lla.
Vastainen kateetti on kulman, josta olemme kiinnostuneita, vastainen sivu, tässä tapauksessa a.
Viereinen kateetti on suoran kulman ja kulman, josta olemme kiinnostuneita, välinen sivu, tässä tapauksessa b.

Kaikkien kolmioiden oletetaan olevan euklidisella tasolla, niin että sisäkulmien summa on $π$ radiaania (tai 180°); täten suorakulmaisen kolmion kahden ei-suoran kulman suuruus on välillä nolla ja $π / 2$ radiaania. Seuraavat määritelmät oikeastaan määrittelevät trigonometriset funktiot ainoastaan kulmille, jotka ovat tällä välillä. Määritelmät laajennetaan kaikille reaaliluvuille vaatimalla funktioilta jaksollisuutta.

1) Kulman sini on vastaisen kateetin ja hypoteenusan pituuksien suhde. Tässä tapauksessa

$\sin \alpha = \frac {\textrm{vastainen}} {\textrm{hypotenuusa}} = \frac {a} {h}$ .

Huomaa, että tämä suhde ei riipu suorakulmaisesta kolmiosta, sillä kaikki suorakulmaiset kolmiot, joissa on kulma α, ovat yhdenmuotoisia.

Sini on nolla kulman arvoilla $\left\{n\pi\big| n\isin\mathbb{Z}\right\}$ .

2) Kulman kosini on viereisen kateetin ja hypoteenusan pituuksien suhde. Tässä tapauksessa

$\cos \alpha = \frac {\textrm{viereinen}} {\textrm{hypotenuusa}} = \frac {b} {h}$ .

Kosini on nolla kulman arvoilla $\left\{\left(\frac{2n+1}{2}\right)\pi\bigg| n\isin\mathbb{Z}\right\}$ .

3) Kulman tangentti on vastaisen ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Tässä tapauksessa

$\tan \alpha = \frac {\textrm{vastainen}} {\textrm{viereinen}} = \frac {a} {b}$ .

Tangentti on nolla kulman arvoilla $\left\{n\pi\big| n\isin\mathbb{Z}\right\}$ .

Jäljellä olevat kolme funktiota on helpointa määritellä yllä olevien funktioiden avulla.

4) Kulman kosekantti on kulman sinin käänteisluku eli hypotenuusan ja vastaisen kateetin pituuksien suhde:

$\csc \alpha = \frac {\textrm{hypotenuusa}} {\textrm{vastainen}} = \frac {h} {a}$ .

5) Kulman sekantti on kulman kosinin käänteisluku eli hypotenuusan ja viereisen kateetin pituuksien suhde:

$\sec \alpha = \frac {\textrm{hypotenuusa}} {\textrm{viereinen}} = \frac {h} {b}$ .

6) Kulman kotangentti on kulman tangentin käänteisluku eli viereisen ja vastaisen sivun pituuksien suhde:

$\cot \alpha = \frac {\textrm{viereinen}} {\textrm{vastainen}} = \frac {b} {a}$ .

[muokkaa] Määritelmät yksikköympyrän avulla

Yksikköympyrä

Trigonometriset funktiot voidaan myös määritellä yksikköympyrän eli origossa sijaitsevan ympyrän, jonka säde on 1, avulla. Tämä määritelmä ei juuri eroa aiemmasta suorakulmaisten kolmioiden avulla tehdystä, sillä se tukeutuu vahvasti suorakulmaisiin kolmiohin. Yksikköympyrän etu on kuitenkin se, että se sallii trigonometristen funktioiden määrittelyjoukon luontevan laajentamisen kaikille positiivisille ja negatiivisille kulmille sen sijaan, että hyväksyttäisiin kulman arvot ainoastaan välillä 0 ja $π / 2$ radiaania. Yksikköympyrän yhtälö on:

$x^2 + y^2 = 1 \,$

Kuvassa on annettu joitain tavallisia kulmien arvoja radiaaneissa. Vastapäivään tehdyt mittaukset ovat positiivisia ja myötäpäivään tehdyt negatiivisia kulmia. Piirretään origon kautta kulkeva suora, joka muodostaa positiivisen x-akselin kanssa kulman θ. Tämän suoran ja yksikköympyrän leikkauspisteen x- ja y-koordinaatit (tässä järjestyksessä) ovat cos θ ja sin θ. Yksikkömpyrän sisälle piirretty kolmio vahvistaa tämän; kolmion hypotenuusa on ympyrän säde, jonka pituus on 1, joten sin θ = y/1 ja cos θ = x/1. Yksikköympyrää voi ajatella tapana tarkastella ääretöntä määrää suorakulmaisia kolmioita vaihtelemalla sivujen pituuksia mutta pitämällä hypotenuusa yhtäsuurena.

sin(x)- ja cos(x)-funktiot koordinaatistossa.

Kulmilla, jotka ovat suurempia kuin täysikulma $2π$ tai pienempiä kuin $- 2π$ , annetaan kulman kiertyä ympäri. Tällä tavalla sini ja kosini muuttuvat jaksollisiksi funktioiksi jaksolla $2π$ .

$\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)$

$\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)$

kaikille kulman arvoille θ ja kokonaisluvuille k.

Jaksollisen funktion pienintä positiivista jaksoa sanotaan funktion perusjaksoksi. Sinin, kosinin, sekantin ja kosekantin kokonainen ympyrä eli $2π$ radiaania tai 360 astetta; tangentin perusjakso on puoliympyrä eli $π$ radiaania tai 180 astetta. Yllä määriteltiin vain sini ja kosini suoraan yksikköympyrän avulla, sillä neljä muuta trigonometristä funktiota voidaan määritellä niiden avulla:

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$

$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Tangenttifunktio tan(x) koordinaatistossa.

Oikealla olevassa kuvassa on sinin ja kosinin kuvaajista huomattavasti poikkeava tangenttifunktion kuvaaja piirrettynä koordinaatistoon. Huomaa että sen x-akselin leikkauspisteet vastaavat sinifunktion vastaavia, kun taas ne arvot joilla se ei ole määritelty vastaavat kosinifunktion nollakohtia. Funktion arvot muuttuvat hitaasti lähellä kulman arvoja $k π$ ja nopeasti kulmilla jotka ovat lähellä arvoja $(k / 2)π$ . Tangentilla on pystysuora asymptootti $x$ :n arvoilla $k π / 2$ . Tämä johtuu siitä että kulman arvon lähestyessä arvoa $k π / 2$ vasemmalta, lähestyy funktion arvo ääretöntä, kun taas oikealta lähestyttäessä sen arvo lähestyy miinus ääretöntä.

Kaikki trigonometriset funktiot voidaan konstruoida geometrisesti yksikköympyrään jonka keskipiste on O.

Kaikki trigonometriset funktiot voidaan vaihtoehtoisesti määritellä O-keskisen yksikköympyrän (kuvattu oikealla) avulla, ja vastaavanlaisia geometrisia määritelmiä käytettiinkin ennen paljon. Ympyrän jänteelle AB, jossa θ on puolet kolmion OAB janan AB vastaisesta kulmaista, sin(θ) on AC (puolet jänteestä); määritelmä, jonka esitti intialainen matemaatikko Aryabhata 400-luvun lopulla. cos(θ) on vaakasuora jana OC, ja versin(θ) = 1 − cos(θ) on jana CD. tan(θ) on ympyrän pisteeseen A piirretylle tangentille piirretyn janan AE pituus, minkä takia funktio onkin nimetty tangentiksi. cot(θ) on jana AF, joka on myös pisteen A kautta kulkevalla tangentilla. sec(θ) ja csc(θ) ovat sekanttien osia, ja niitä voidaan myös pitää janan OA projektioina x- ja y-akseleille pisteeseen A piirrettyä tangenttia pitkin. DE on exsec(θ) = sec(θ) − 1 (sekantin ympyrän ulkopuolinen osa). Näissä konstruktioista on helppoa nähdä, että tangentti- ja sekanttifunktiot hajaantuvat kun θ lähestyy suoraa kulmaa, ja että kosekantti ja kontangentti hajaantuvat θ:n lähestyessä nollaa. (Moni muu vastaava rakennelma on mahdollinen, ja yksinkertaiset trigonometriset identiteetit voidaan todistaa graafisesti.)

[muokkaa] Määritelmät sarjakehitelmien avulla

Seitsemännen asteen Taylorin polynomilla (vaaleanpunainen) päästään sinifunktion (sininen) tarkkaan approksimaatioon keskellä kuvaajaa olevan kokonaisen

2π

:n pituisen jakson alueella.

Huomautus: Kuten differentiaalilaskennassa yleensäkin, kaikkien kulmien arvot ilmoitetaan tässä radiaaneina. (Katso otsikko radiaanien merkitys)

Pelkällä geometrialla ja raja-arvoilla voidaan osoittaa, että sinin derivaatta on kosini, ja että kosinin derivaatta on sinin vastaluku. Taylorin polynomien avulla voidaan näyttää että seuraavat identiteetit pätevät kaikille reaaliluvuille x:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

Näitä identiteettejä käytetään usein sinin ja kosinin määritelminä ja lähtöpisteenä trigonometristen funktioiden ja niiden sovellusten (esim. Fourier'n sarjoissa) täsmälliselle käsittelylle, sillä sarjojen teoria voidaan rakentaa reaalilukujen pohjalta, ilman minkäänlaisia geometrisia tulkintoja. Näiden funktioiden derivoituvuus ja jatkuvuus todentuu näin sarjojen määritelmien pohjalta.

Muillekin funktioille on olemassa sarjakehitelmiä (Abramowitz ja Stegun 1964, Weisstein 2006):

$\tan x \,$	${} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
	${} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$
	${} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \mbox{for } \|x\| < \frac {\pi} {2}$

Kun tämä sarja esitetään muodossa jossa nimittäjät ovat vastaavia kertomia, saavat osoittajat, joita kutsutaan "tangenttiluvuiksi", kombinatoriaalisen tulkinnan: ne ovat äärellisten parittomasti mahtavien joukkojen vuorottelevien permutaatioiden lukumäärä.

$\csc x \,$	${} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$
	${} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots, \qquad \mbox{for } 0 < \|x\| < \pi$

$\sec x \,$	${} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_n x^{2n}}{(2n)!}$
	${} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots, \qquad \mbox{for } \|x\| < \frac {\pi} {2}$

Kun tämä sarja esitetään muodossa jossa nimittäjät ovat vastaavia kertomia, saavat osoittajat, joita kutsutaan "sekanttiluvuiksi", kombinatoriaalisen tulkinnan: ne ovat äärellisten parillisesti mahtavien joukkojen vuorottelevien permutaatioiden lukumäärä.

$\cot x \,$	${} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$
	${} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots, \qquad \mbox{for } 0 < \|x\| < \pi$

missä

$B_n \,$ on n:s Bernoullin luku,

$E_n \,$ on n:s Eulerin luku, ja

$U_n \,$ on n:s ylös/alas-luku.

Kompleksianalyysissä käytetyn teoreeman mukaan tällä funktiolla on yksikäsitteinen analyyttinen laajennus kompleksilukujen alueelle. Sen Taylorin polynomi on sama kuin reaaliluvuille määritelty, joten trigonometriset funktiot on määritelty kompleksiluvuille käyttämällä yllä olevia Taylorin sarjoja.

[muokkaa] Suhde eksponenttifunktioon ja kompleksilukuihin

Sarjakehitelmien avulla voidaan näyttää että sini- ja kosinifunktio ovat eksponenttifunktion, jonka muuttuja on puhtaasti imaginaarinen, imaginaari- ja reaaliosa:

$e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta \,.$

Tämän yhteyden huomasi ensimmäisenä Leonhard Euler ja sitä kutsutaan hänen mukaansa Eulerin lauseeksi. Tämän lauseen seurauksena trigonometrisistä funktioista tulee oleellinen osa kompleksianalyysin geometrista tulkintaa. Esimerkiksi kompleksitasolle piirretty yksikköympyrä, jonka määrittelee kaava $e i x$ , voidaan parametrisoida sinin ja kosinin avulla, jolloin kompleksiarvoisten exponenttifunktioiden ja trigonometristen funktioiden välinen yhteys muuttuu entistä selvemmäksi.

Eulerin kaavan avulla voidaan lisäksi määritellä trigonometriset funktiot kompleksiargumenteilla $z$ :

$\sin z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{\imath z} - e^{-\imath z} \over 2\imath} = -\imath \sinh \left( \imath z\right)$

$\cos z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{\imath z} + e^{-\imath z} \over 2} = \cosh \left(\imath z\right)$

missä $i 2 = - 1$ . Lisäksi kaikille reaalisille $x$ :

$\cos x \, = \, \mbox{Re } (e^{\imath x})$

$\sin x \, = \, \mbox{Im } (e^{\imath x})$

[muokkaa] Määritelmät differentiaaliyhtälöiden avulla

Sini- ja kosinifunktio toteuttavat differentiaaliyhtälön

$y\,''=-y$

toisin sanoen kumpikin on oman toisen derivaattansa vasta-alkio. Kaksiulotteisessa lineaariavaruudessa V, joka koostuu tämän yhtälön kaikista ratkaisuista, sinifunktio saadaan alkuehdoilla $y (0) = 0$ ja $y'(0) = 1$ , ja kosinifunktio saadaan alkuehdoilla $y (0) = 1$ ja $y'(0) = 0$ . Koska sini ja kosini ovat lineaarisesti riippumattomia, muodostavat ne V:n kannan. Tämä tapa määritellä trigonometriset funktiot on olennaisesti sama kuin Eulerin kaavan avulla tehty määritelmä. Tätä differentiaaliyhtälöä voi myös käyttää sinin ja kosinin trigonometristen kaavojen todistamiseen.

Tangenttifunktio on epälineaarisen differentiaaliyhtälön

$y\,'=1+y^2$

yksiselitteinen ratkaisu alkuarvoilla $y (0) = 0$ . Tälle on esitetty mielenkiintoinen todistus; katso [1].

[muokkaa] Radiaanien merkitys

Radiaanit määrittelevät kulman mittaamalla yksikköympyrän kehää pitkin kuljettua matkaa ja ovat trigonometristen funktioiden luonnollinen muuttuja. Ainoastaan ne sini- ja kosinifunktiot, jotka kuvaavat radiaanit suhteiksi, toteuttavat ne differentiaaliyhtälöt, jotka tavallisesti kuvaavat niitä. Jos sinin tai kosinin muuttujan "taajuutta" muutetaan,

$f(x) = \sin(kx); k \ne 0, k \ne 1 \,$

muuttuu derivaattojen "amplitudi".

$f'(x) = k\cos(kx) \,$ .

Vakio $k$ on muunnoskerroin yksiköstä toiseen. Jos $x$ on ilmoitettu asteissa,

$k = \frac{\pi}{180^\circ}.$

Sinin toinen derivaatta ei siis toteuta differentiaaliyhtälöä

$y'' = -y \,$ ,

vaan yhtälön

$y'' = -k^2y \,$ ;

kosinifunktio käyttäytyy samalla tavoin.

Nämä sinit ja kosinit ovat siis eri funktioita, ja sinin neljäs derivaatta on sini vain jos muuttuja on radiaaneissa.

[muokkaa] Muita määritelmiä

Lause: On olemassa täsmälleen yksi pari reaalifunktioita s, c, joilla on seuraavat ominaisuudet:

Kaikille $x, y \in\mathbb{R}$ :

$s(x)^2 + c(x)^2 = 1,\,$

$s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y),\,$

$c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y),\,$

$0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{for}\ 0 < x < 1.$

[muokkaa] Käänteisfunktiot

Trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, joten niiden määritelyjoukkoa täytyy rajoittaa, jotta niille olisi mahdollista määritellä käänteisfunktio. Seuraavassa taulukossa oikealla olevat yhtälöt määrittelevät vasemmalla olevan funktion; nämä eivät siis ole johdettuja kaavoja. Käänteisfunktiot määritellään yleensä seuraavalla tavalla:

$\begin{matrix} \mbox{kun} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, & y = \arcsin(x) & \mbox{jos ja vain jos} & x = \sin(y) \\ \\ \mbox{kun} & 0 \le y \le \pi, & y = \arccos(x) & \mbox{jos ja vain jos} & x = \cos(y) \\ \\ \mbox{kun} & -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}, & y = \arctan(x) & \mbox{jos ja vain jos} & x = \tan(y) \\ \\ \mbox{kun} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0, & y = \arccsc(x) & \mbox{jos ja vain jos} & x = \csc(y) \\ \\ \mbox{kun} & 0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2}, & y = \arcsec(x) & \mbox{jos ja vain jos} & x = \sec(y) \\ \\ \mbox{kun} & -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}, y \ne 0, & y = \arccot(x) & \mbox{jos ja vain jos} & x = \cot(y) \end{matrix}$

Trigonometrisille funktioille on mahdollista määrittää käänteisfunktiot myös mille tahansa jakson pituiselle monotoniselle välille. Joskus käytetään merkintää, jossa käänteisfunktion nimen alkuosan päällä on viiva, korostamaan sitä, että määrittely on tehty funktion päähaaran mukan. Esimerkiksi $\operatorname{\overline{arc}sin}(x)$ . Tällainen merkintätapa on kuitenkin harvinainen.

Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioille käytetään joskus merkintätapaa sin⁻¹(x) ja cos⁻¹(x). Tässä merkintätavassa on kuitenkin vaarana että käänteisfunktion sijasta sama merkintä voi tarkoittaa myös funktion negatiivista potenssia. Tämän välttämiseksi käytetään nimiä arcsin, arccos jne. trigonometristen funktioiden käänteisfunktioille.

Funktioilla on seuraavat sarjakehitelmät:

$\arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots$

$= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} \ , \quad \left| z \right| < 1$

$\begin{matrix} \arccos z & = & \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\ \\ & = & \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\ & = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} \end{matrix} \ , \quad \left| z \right| < 1$

$\begin{matrix} \arctan z & = & z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\ \\ & = & \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} \end{matrix} \ , \quad \left| z \right| < 1$

$\begin{matrix} \arccsc z & = & \arcsin\left(z^{-1}\right) \\ \\ & = & z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\ & = & \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}\end{matrix} \ , \quad \left| z \right| > 1$

$\begin{matrix} \arcsec z & = & \arccos\left(z^{-1}\right) \\ \\ & = & \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\ & = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} \end{matrix} \ , \quad \left| z \right| > 1$

$\begin{matrix} \arccot z & = & \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ \\ & = & \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\ \\ & = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} \end{matrix} \ , \quad \left| z \right| < 1$

Nämä funktiot voidaan myös määritellä muiden funktioiden integraalifunktioina.

$\arcsin\left(x\right) = \int_0^x \frac 1 {\sqrt{1 - z^2}}\,\mathrm{d}z, \quad |x| < 1$

$\arccos\left(x\right) = \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,\mathrm{d}z,\quad |x| < 1$

$\arctan\left(x\right) = \int_0^x \frac 1 {1 + z^2}\,\mathrm{d}z, \quad \forall x \in \mathbb{R}$

$\arccot\left(x\right) = \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,\mathrm{d}z, \quad z > 0$

$\arcsec\left(x\right) = \int_x^1 \frac 1 {|z| \sqrt{z^2 - 1}}\,\mathrm{d}z, \quad x > 1$

$\arccsc\left(x\right) = \int_x^\infty \frac {-1} {|z| \sqrt{z^2 - 1}}\,\mathrm{d}z, \quad x > 1$

Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot voi yleistää kompleksimuuttujille käyttämällä kompleksiarvoista logaritmia.

$\arcsin (z) = -i \log \left( i z + \sqrt{1 - z^2} \right)$

$\arccos (z) = -i \log \left( z + \sqrt{z^2 - 1}\right)$

$\arctan (z) = \frac{i}{2} \log\left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)$

[muokkaa] Kaavoja

$\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\tan \left(x+y\right)=\frac{\tan x +\tan y}{1-\tan x \tan y}$

$\tan \left(x-y\right)=\frac{\tan x -\tan y}{1+\tan x \tan y}$

$\cot \left(x+y\right)=\frac{\cot x \cot y - 1}{\cot y + \cot x}$

$\cot \left(x-y\right)=\frac{\cot x \cot y + 1}{\cot y - \cot x}$

$\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)$

$\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}$

$\arctan x = \arcsin \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$

Trigonometristen funktioiden derivaatat ja integraalifunktioita löytyy sivuilta derivaatta ja integraalifunktio.

[muokkaa] Sovelluksia

Trigonometriset funktiot ovat, kuten nimestäkin käy ilmi, ratkaisevan tärkeitä trigonometriassa. Tämä johtuu pääasiassa kahdesta seuraavasta kaavasta:

[muokkaa] Sinilause

Sinilauseen mukaan mille tahansa kolmiolle pätee:

$\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$

joka voidaan esittää myös muodossa

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R,$

Eräs Lissajousin kuvio, trigonometrisiin funktioihin perustuva käyrä.

jossa a, b ja c ovat kolmion sivut, α on sivun a vastainen kulma, β on b:n vastainen kulma, γ on c:n vastainen kulma ja R on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde. Sinilause voidaan todistaa jakamalla kolmio kahteen suorakulmaiseen kolmioon ja käyttämällä yllä esitettyä sinin määritelmää suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina. Sinilause on hyödyllinen laskettaessa tuntemattomien sivujen pituuksia, kun kaksi kulmaa ja yksi sivu on tiedossa. Tämä on yleinen tilanne kolmioinnissa, jonka avulla mitataan tuntemattomia pituuksia määrittämällä kaksi kulmaa ja niiden välinen pituus.

[muokkaa] Kosinilause

Kosinilause on Pythagoraan lauseen laajennus mielivaltaisille kolmioille:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \,$

joka voidaan muotoilla myös

$\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

jossa a, b ja c ovat kolmion sivut ja γ on sivun c vastainen kulma. Tämänkin lauseen todistus on yksikertainen kun jaetaan tutkittava kolmio kahteen suorakulmaiseen kolmioon. Kosinilauseen avulla voidaan laskea kolmion puuttuvat tiedot jos kaksi sivua ja kulma on tiedossa.

Kannattaa huomata että kolmio ei välttämättä ole yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnettu kulma ei sijaitse tunnettujen sivujen välissä. Tällöin kosinilauseen ratkaisussa saadaan kaksi vaihtoehtoista sivun pituutta.

[muokkaa] Tangenttilause

On olemassa myös tangenttilause:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]},$

jossa a ja b kolmion sivuja, ja α ja β ovat niitä vastaavat kulmat.

Trigonometriset funktiot ovat tärkeitä muissakin kohteissa kuin kolmioiden tutkimuksessa. Ne ovat jaksollisia funktioita, joiden kuvaajille ominainen aaltomuoto on hyödyllinen toistuvien ilmiöiden, kuten ääni- ja valoaaltojen mallintamisessa. Jokainen signaali voidaan kirjoittaa eritaajuisten sinifunktioiden (tavallisesti äärettömänä) summana; tämä on perustavaa laatua oleva ajatus harmonisessa analyysissä, jossa trigonometrisiä sarjoja käytetään osittaisdifferentiaaliyhtälöiden erilaisten reuna-arvotehtävien ratkaisussa.

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../t/r/i/Trigonometrinen_funktio.html

Luokat: Trigonometria | Funktiot