Trigonometria

Wikipedia

Trigonometria (kreik. τρίγωνος, trígōnos, kolmekulmainen, ja μέτρον, métron, mitata) on kolmioita ja kulmia käsittelevä matematiikan ala.

Trigonometria on peräisin jo antiikin ajoilta. Noin 5000 vuotta sitten babylonialaiset tekivät taulukoita kolmioiden sivujen suhteista. Siihen kuuluvat olennaisesti trigonometriset funktiot, joista tärkeimmät ovat sini, kosini ja tangentti. Muita ovat sekantti, kosekantti ja kotangentti. Trigonometriassa suoraa kulmaa vastapäätä olevaa (kolmion pisintä) sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja suoran kulman viereisiä sivuja kateeteiksi. Trigonometristen funktioiden, sinilauseen ja kosinilauseen avulla voidaan vastata kaikkiin kolmion sivuja ja kulmia koskeviin kysymyksiin.

Trigonometrialla on monia sovelluksia esimerkiksi tähtitieteessä, tilastotieteessä, kemiassa, arkkitehtuurissa, meteorologiassa ja kartografiassa.

Sisällysluettelo

1 Trigonometrisista funktioista
2 Trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja
3 Pallotrigonometria
4 Katso myös

[muokkaa] Trigonometrisista funktioista

Pääartikkeli: Trigonometrinen funktio

[muokkaa] Klassiset määritelmät

Suorakulmaisessa kolmiossa sivujen suhteisiin vaikuttaa vain terävän kulman α (0 < α < 90) suuruus, ei kolmion koko. Näitä sivujen suhteita nimitetään kulman trigonometrisiksi funktioiksi.

SINI sin α = α:n vastainen kateetti / hypotenuusa

KOSINI cos α = α:n viereinen kateetti / hypotenuusa

TANGENTTI tan α = α:n vastainen kateetti / viereinen kateetti

KOTANGENTTI cot α = α:n viereinen kateetti / vastainen kateetti

SEKANTTI sec α = hypotenuusa / α:n viereinen kateetti

KOSEKANTTI csc α = hypotenuusa / α:n vastainen kateetti

Kateettien ja hypotenuusan pituuksien välillä olevaa yhteyttä kutsutaan nimellä Pythagoraan lause, joka on erikoistapaus kosinilauseesta.

Yleensä käytetään vain kolmea ensimmäistä funktiota, koska kotangentti, sekantti ja kosekantti saadaan tangentin, kosinin ja sinin (vastaavasti) käänteisarvoina.

[muokkaa] Yleisempi määritelmä

Jos suorakulmaiseen xy-koordinaatistoon piirretään yksikköympyrä (ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde on yksi), sen kehällä olevan pisteen (x,y)-koordinaatit ovat (cos φ,sin φ), missä φ on positiivisen x-akselin ja origosta pisteeseen (x,y) piirretyn janan välinen kulma radiaaneissa. Kulman φ suuruus kasvaa vastapäivään, joka on siis positiivinen kiertosuunta. Kulma φ = 0, kun (x,y) = (1,0).

Funktioiden arvot ovat siis väleillä

$-1 \le \sin \phi \le 1$

$-1 \le \cos \phi \le 1$

[muokkaa] Sarjakehitelmät

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} (2^{2n}-1) U_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad \left | x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\csc x = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2 (2^{2n-1}-1) B_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad 0 < \left | x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots = 1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n x^{2n}}{(2n)!}, \quad \left | x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \frac {1} {x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} U_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad 0 < \left | x \right | < \frac {\pi} {2}$

[muokkaa] Trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja

[muokkaa] Muunnoskaavoja

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1\qquad\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\qquad\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$\sin (-x) = -\sin x \qquad\cos(-x) = \cos x$

[muokkaa] Derivointi

$\operatorname{D} \sin x = \cos x\qquad \operatorname{D} \cos x = -\sin x \qquad \operatorname{D} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x} \qquad \operatorname{D} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x }$

Trigonometristen funktioiden monikertaisten kulmien kaavat (esim. $sin2 x$ ) voidaan johtaa De Moivren kaavalla.

[muokkaa] Integrointi

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C\qquad\int \cos x\,dx = \sin x + C\qquad\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$ $\int \cot x\,dx = \ln |\sin x| + C$

[muokkaa] Pallotrigonometria

Yleensä trigonometrialla tarkoitetaan vain tasopinnalle sijoitettuja kolmioita käsittelevää matematiikkaa. Pallotrigonometria käsittelee pallonpinnalle sijoitettuja kolmioita. Tällöin kolmion sivujen pituus vaikuttaa kolmion ominaisuuksiin (esimerkiksi kulmien summa on aina suurempi kuin 180 astetta). Sivujen pituudet ilmaistaan pallotrigonometriassa kulmamittoina. Pallotrigonometrialla on runsaasti sovelluksia tähtitieteessä.