Connexité simple

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En topologie, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée ».

On formalise cela en disant que tout lacet tracé dans un espace simplement connexe doit pouvoir être réduit continûment (c'est-à-dire par homotopie) à un point.

Sommaire

1 Définition
2 Etude d'un cas concret
3 Exemples
4 Propriétés
5 Généralisations
- 5.1 Espace localement simplement connexes (par arcs)
- 5.2 Espaces semi-localement simplement connexes (par arcs)
6 Voir aussi

[modifier] Définition

Si $X \,\!$ est un espace topologique connexe par arcs, on dit qu'il est simplement connexe si tout lacet $\gamma \,\!$ tracé sur $X \,\!$ est homotope à un point.

Intuitivement, on peut tirer sur le lacet pour le rétrécir jusqu'à ce qu'il ne forme plus qu'un point, il n'y a pas d'obstacle (c'est-à-dire de trou).

On parle aussi de parties simplement connexes ; une partie d'un espace topologique est dite simplement connexe si, munie de la topologie induite, elle constitue un espace topologique simplement connexe.

Formulations équivalentes :

On note $S^1 = \left\{ z \in \mathbb{C} \, | \, |z|=1 \right\} \,\!$ le cercle unité et $D = \left\{ z \in \mathbb{C} \, | \, |z|\leq 1 \right\} \,\!$ le disque unité. Un espace topologique $X \,\!$ connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si toute fonction continue $f \, : \, S^1 \rightarrow X \,\!$ peut être prolongée en une fonction continue $F \, : \, D \rightarrow X \,\!$ .

Autrement dit tout plongement d'un cercle dans $X \,\!$ peut être prolongé à un plongement du disque, intuitivement on peut « colorier » l'intérieur de toute boucle tracée dans $X \,\!$ .

Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si tout couple $p, \, q : [0,1] \rightarrow X \,\!$ de chemins tracés sur $X \,\!$ sont homotopes.

Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.

[modifier] Etude d'un cas concret

La droite réelle $\R \,\!$ , ainsi que tout intervalle de $\R \,\!$ , est simplement connexe. Soit $\gamma \, : \, [0,1] \rightarrow \R \,\!$ une application continue telle que $\gamma \,(0)=\gamma \,(1)\!$ . Considérons alors la famille de lacets $(\gamma_\alpha )_{\alpha \in [0,1]}\,$ définie par:

$\forall \alpha \in [0,1] \quad \forall x \in [0,1] \quad \gamma_\alpha (x) = \gamma(0)+\alpha (\gamma (x)- \gamma (0))\;$

La fonction $(\alpha,x)\to\gamma_\alpha(x)$ est continue ; si $\alpha = 1\;$ alors le lacet est égal à $\gamma \;$ et si $\alpha = 0\;$ le lacet est réduit à un point. Nous avons donc démontré que le lacet $\gamma \;$ est homotope à un point.

Dans le cas d'un intervalle il suffit de remarquer que:

$\forall \alpha \in [0,1] \quad \forall x \in [0,1] \quad \gamma_\alpha (x) \in [\gamma(0),\gamma (x)]\;$

Et donc tout lacet de la famille est bien définie dans l'intervalle. Nous avons donc démontré que tout lacet simple de $\R \,\!$ ou d'un de ses intervalles est homotope à un point.

[modifier] Exemples

Sont simplement connexes :

le plan complexe $\mathbb{C} \,\!$ et plus généralement tout espace vectoriel normé ;
le disque $D \,\!$ ;
toute partie convexe ou étoilée d'un espace vectoriel normé ;
la sphère $S^2 = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \, | \, x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} \,\!$ ;
une assiette, un verre, une fourchette.

Ne sont pas simplement connexes :

$\R^* \,\!$ et plus généralement tout espace non-connexe ou non-connexe par arcs ;
l'ensemble $\mathbb{C}^* \,\!$ des nombres complexes non-nuls ;
le cercle $S^1 \,\!$ ;
le tore $T^2 \,\!$ (ou « donut ») ;
le ruban de Möbius et la bouteille de Klein ;
une tasse, une passoire, un fouet de cuisine.

[modifier] Propriétés

Théorème : Tout revêtement d'un espace simplement connexe est un revêtement trivial.
Théorème : Tout revêtement simplement connexe d'un espace est un revêtement universel.
Propriété de relèvement des homotopies. Toute application f continue d'un espace simplement connexe $X$ dans la base B d'un revêtement $\pi : Y\to B$ , se relève, c'est-à-dire qu'il existe une application continue g : $X\to Y$ telle que $f=\pi \circ g$ .

(à compléter)

[modifier] Généralisations

[modifier] Espace localement simplement connexes (par arcs)

Un espace est localement simplement connexe tout point admet une base de voisinages simplement connexes. Les espaces localement contractiles sont localement simplement connexes.

[modifier] Espaces semi-localement simplement connexes (par arcs)

Un espace est dit semi-localement simplement connexe (par arcs) si tout point admet un voisinage U où tout lacet, contenu dans U, peut être déformée en un point dans X.