Droite (mathématiques)
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Pour les Anciens, la droite, en mathématiques et surtout en géométrie, était un objet allant de soi, si évident que l'on négligeait de préciser de quoi l'on parlait. L'un des premiers à formaliser la notion de droite fut le grec Euclide dans ses Éléments. Avec le développement du calcul algébrique et du calcul vectoriel, d'autres définitions vinrent s'ajouter. Mais c'est la naissance des géométries non euclidiennes qui a conduit à la découverte de nouveaux types de droites, et, par là-même, nous a forcés à éclaircir et approfondir ce concept.
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[modifier] Vision naïve
« La ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre ».
Cette définition simple suffit à bon nombre d'entre nous. Elle permet par exemple au jardinier de tracer ses lignes de semis : en tendant une corde entre deux piquets, il matérialise une ligne tirée au cordeau. C'est à un procédé analogue que recourt le bricoleur pour tracer une ligne de 5 mètres : il enduit une corde de craie, la tend entre deux points fixes puis, utilisant l'élasticité naturelle de cette corde, il l'éloigne du sol et la lâche soudainement. La corde reprend alors brutalement sa position initiale en déposant sur le sol une ligne de craie.
Voir aussi les définitions d'une demi-droite et d'un segment.
[modifier] Définition formelle d'Euclide
Dans ses éléments, Euclide définit les objets relevant de la géométrie (point, droite, plan, angle) et leur affecte un certain nombre de propriétés (postulats). À l'aide de ces éléments de base, il essaie de construire, par des démonstrations rigoureuses, l'ensemble des autres propriétés.
Pour Euclide :
- une ligne est une longueur sans largeur;
- et une ligne droite est une ligne également placée entre ses points.
Il part d'une droite finie qu'il définit comme un segment. Il a besoin d'un postulat pour la prolonger au-delà de ses extrémités, d'un autre pour en prouver l'existence (Par deux points distincts passe une droite) et d'un autre appelé le cinquième postulat d'Euclide pour traiter des positions relatives des droites ( Si une droite coupe deux autres droites, de telle façon que la somme des angles intérieurs du même côté soit plus petite que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.) dont plusieurs versions équivalentes peuvent être données.
[modifier] Géométrie vectorielle
En géométrie vectorielle, une droite est un sous-espace vectoriel de dimension 1. Si v est un vecteur non nul, la droite vectorielle engendrée par v est l'ensemble des vecteur w pour lesquels il existe un scalaire (un réel pour un espace vectoriel sur R) k tel que w = kv. On dit alors que les vecteurs v et w sont colinéaires.
[modifier] Géométrie affine
En géométrie affine, une droite est un sous-espace affine de dimension 1. Si A est un point et v un vecteur non nul, la droite affine engendrée par A et v est l'ensemble des points M pour lesquels il existe un scalaire k tel que 
. Le vecteur v est appelé vecteur directeur de la droite.
On peut aussi définir la droite passant par les points distincts A et B comme l'ensemble des barycentres des points A et B.
[modifier] Géométrie analytique
Si l'espace vectoriel est muni d'une base, ou l'espace affine d'un repère, la droite peut être caractérisée par des équations.
[modifier] Espace affine de dimension 2
Une droite affine est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que 
, où 
. Un vecteur directeur de la droite est le vecteur de coordonnées ( − b;a). L'équation précédente est appelée équation cartésienne de la droite.
Dans cette famille de droites, on rencontre
- les droites d'équation y = mx associées à des fonctions linéaires de R dans R
- les droites d'équation y = mx + p associées à des fonctions affines de R dans R
- les droites d'équation x = p parallèles à l'axe des ordonnées
m représente la pente de la droite.
[modifier] Espace affine de dimension n
En dimension n, la droite passant par 
et de vecteur 
est l'ensemble des points 
pour lesquels il existe un scalaire k tel que
Ce système d'équations s'appelle un système d'équations paramétrées de la droite.
Cas particulier de l'espace (dimension 3), en :
- Coordonnées cartésiennes :
- Coordonnées polaires :
[modifier] Géométries non euclidiennes
Dans le courant du XIXe, sont nées d'autres géométries dans lesquelles la droite n'avait plus les mêmes propriétés que dans la géométrie euclidienne : les géométries non euclidiennes.
En géométrie projective, des droites parallèles se coupent en un point impropre et par deux points ne passe qu'une seule droite.
En géométrie hyperbolique, par un point donné, non situé sur une droite donnée, il passe au moins deux droites qui ne coupent pas la droite donnée.
En géométrie elliptique, deux droites sont toujours sécantes. Un exemple classique de géométrie elliptique est la géométrie sur une sphère où le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est une partie d'un grand cercle. Une droite est alors définie comme un grand cercle. Deux droites distinctes se coupent alors en deux points diamétralement opposés qui n'en forment qu'un pour cette géométrie. On retrouve la propriété : par deux points distincts passe une seule droite
De plus on peut aussi definir une droite comme un cercle de rayon infini.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Liens externes
- A. Javary, Traité de géométrie descriptive, 1881 (sur Gallica) : La ligne droite, le plan, les polyèdres
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