Théorème de Stampacchia

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Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
- 2.1 Cas général
- 2.2 Cas symétrique
3 Applications

[modifier] Énoncé

Soient

$\mathcal{H}$ un espace de Hilbert muni de son produit scalaire noté $\langle.,.\rangle$
$K$ une partie convexe fermée non vide de $\mathcal{H}$
a(.,.) une forme bilinéaire qui soit
- continue sur $\mathcal{H}\times\mathcal{H}$ : $\exists\,c>0 \quad \forall u,v\in \mathcal{H} \quad \|a(u,v)\|\leq c\|u\|\|v\|\quad$
- coercive sur $\mathcal{H}$ : $\exists\,\alpha>0 \quad \forall u\in\mathcal{H} \quad \ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2 \quad$
$L (.)$ une forme linéaire continue sur $\mathcal{H}$

Sous ces conditions, il existe un unique $u$ de $K$ tel que

$(1) \quad \forall\ v\in K \quad a(u,v-u)\geq L(v-u) \quad$

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors il existe un unique $u$ de $K$ qui minimise la fonctionnelle $I:\mathcal{H}\rightarrow\R$ définie par $I(v)=\frac{1}{2} a(v,v)-L(v)$ pour tout $v$ de $\mathcal{H}$ , c'est-à-dire

$(2) \quad \exists!\ u\in K \quad I(u) = \min_{v\in K} I(v)$

[modifier] Démonstration

[modifier] Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique $f\in\mathcal{H}$ tel que pour tout $v\in\mathcal{H}$ , $L(v)=\langle f,v\rangle$ .

Pour tout $u\in\mathcal{H}$ , l'application $v\mapsto a(u,v)$ est une forme linéaire continue sur $\mathcal{H}$ et donc de la même manière, il existe un unique élément $A(u)\in\mathcal{H}$ tel que $a(u,v)=\langle A(u),v\rangle$ pour tout $v\in\mathcal{H}$ . On montre facilement que l'opérateur $A$ ainsi défini est un endomorphisme linéaire sur $\mathcal{H}$ .

Par la continuité de $a$ , il existe une constante $c > 0$ telle que $\|A(u)\|^2=\langle A(u),A(u)\rangle=a(u,u)\leq c\|A(u)\|\|u\|$ , d'où

$\qquad (3) \quad \forall\ u\in \mathcal{H} \quad \|A(u)\|\leq c\|u\|$

Avec ces éléments, la relation $(1)$ s'écrit de manière équivalente

$\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0$

Pour tout réel $r$ strictement positif, c'est également équivalent à

$\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \forall r>0 \quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0$

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente

$\exists!\,u\in K \quad \forall r>0 \quad u=p_K(rf-rA(u)+u)$

où $p K$ est l'opérateur de projection sur $K$ . Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer qu'il existe un unique $u\in K$ qui vérifie l'équation de point fixe $u = P (u)$ où l'application $P:K\rightarrow K$ est définie par $P(v)=p_K\big(rf-rA(v)+v\big)$ .

Pour cela, montrons que $P$ est une application contractante. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $K$ . Comme l'opérateur de projection $p K$ est 1-lipschitzienne, on a

$\|P(x)-P(y)\| \leq \|x-y-rA(x-y)\|$

D'où

$\|P(x)-P(y)\|^2 \leq \|x-y\|^2 + r^2\|A(x-y)\|^2 - 2r\langle x-y,A(x-y)\rangle$

Comme la forme bilinéaire $a$ est coercive, on a $\langle A(x-y),x-y\rangle=a(x-y,x-y) \geq \alpha\|x-y\|^2$ . Par ailleurs, en utilisant la relation $(3)$ , on a l'inégalité $\|A(x-y)\|\leq c\|x-y\|$ . Par conséquent,

$\|P(x)-P(y)\|^2 \leq \big(1+r^2c^2-2r\alpha\big)\|x-y\|^2$

L'application $P$ est contractante si et seulement si $(1 + r 2 c 2 - 2 r α) < 1$ , c'est-à-dire si on a $0 < r < \frac{2\alpha}{c^2}$ . En choisissant un tel $r$ et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique $u\in K$ tel que $u=p_K\big(rf-rA(u)+u\big)$ , ce qui conclut la démonstration.

[modifier] Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur $\mathcal{H}$ . La coercivité implique que $a$ est définie et positive. On note par $\langle.,.\rangle_a$ ce produit scalaire qui est défini par :

$\forall x,y \in \mathcal{H} \quad \langle x,y\rangle_a = a(x,y)$

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique $f\in\mathcal{H}$ tel que $L(v)=\langle f,v\rangle_a$ pour tout $v\in\mathcal{H}$ .

La relation $(1)$ s'écrit alors de manière équivalente :

$\exists!\,u\in K \quad \forall v\in K \quad \langle f-u,v-u\rangle_a \leq 0$

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

$\exists!\,u\in K \quad u=p^a_K(f)$

où $p^a_K$ est l'opérateur de projection sur $K$ utilisant le produit scalaire défini par $a$ . La relation $(1)$ est donc équivalente à :

$\langle f-u,f-u\rangle_a = \min_{v\in K}\ \langle f-v,f-v\rangle_a$

soit encore

$\langle u,u\rangle_a - 2\langle f,u\rangle_a = \min_{v\in K}\left( \langle v,v\rangle_a - 2\langle f,v\rangle_a \right)$

ou bien

$\frac{1}{2}a(u,u) - L(u) = \min_{v\in K}\left( \frac{1}{2}a(v,v) - L(v) \right)$ , ce qui conclut la démonstration.

[modifier] Applications

Ce théorème sert notamment en Mécanique où $I$ est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les Théorèmes énergétiques en Mécanique.
Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de solutions faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
Le théorème de Stampacchia permet aussi de déduire simplement le Théorème de Lax-Milgram.