Sous-espace supplémentaire

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Un sous-espace supplémentaire est un objet mathématique qui entre dans la branche de l'algèbre linéaire. C'est un sous-ensemble d'un espace vectoriel.

Une fois connu un sous-espace vectoriel, alors la connaissance d'un sous-espace supplémentaire permet une décomposition unique de l'espace vectoriel.

Tout vecteur est la somme d'un vecteur membre du sous-espace vectoriel et d'un élément de son supplémentaire. Les deux vecteurs formant la somme sont obtenus par des projecteurs. Le sous-espace et son supplémentaire sont dit en somme directe.

Tout sous-espace vectoriel admet un suplémentaire, cependant dans le cas où la dimension n'est pas finie, alors la démonstration utilise le Lemme de Zorn, et donc indirectement, l'axiome du choix.

[modifier] Définition

Dans la suite de l'article E désigne un espace vectoriel, x désigne un vecteur quelconque de E et E₁ et E₂ deux sous-espaces vectoriels.

La définition d'un sous-espace supplémentaire est donnée par l'équivalence des quatre propositions suivantes:

E₂ est un sous-espace supplémentaire de E₁.
E₁ et E₂ ont une intersection réduit au vecteur nul et tout vecteur s'écrit comme la somme d'un vecteur de E₁ et E₂.
Tout vecteur x s'écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de E₁ et d'un vecteur de E₂.
Il existe deux projecteurs P₁ et P₂ tel que leur somme soit égal à l'identité et l'image de P₁ (respectivement P₂) soit égal à E₁ (respectivement E₂)

Les deux sous-espaces sont alors dit en somme directe. On note $E = E_1 \oplus E_2$ .

Démonstration

La deuxième proposition est équivalente à la troisième

Dire qu'il existe une manière unique d'écrire un vecteur comme somme de deux vecteurs de E₁ et E₂ signifie que tout vecteur de l'intersection des deux sous-espaces s'écrit comme la somme de deux vecteurs nulles.

La troisième proposition implique la quatrième proposition

Supposons la troisième proposition vraie. Soit x = x₁ + x₂ la décomposition de la troisième proposition. Définissons P₁ (respectivement P₂) comme l'endomorphisme qui à x associe x₁ (respectivement x₂).

Alors P₁ (respectivement P₂) sont linéaires, en effet si λ est un scalaire et y un vecteur ayant pour décomposition y = y₁ + y₂, alors:

$x+\lambda .y=x_1+\lambda .y_1+x_2+\lambda .y_2\;$

est l'unique décomposition du vecteur x + λy. L'unicité de la décomposition montre les deux égalités suivantes et donc la linéarité de P₁ et P₂.

$P_1(x+\lambda .y)=x_1+\lambda .y_1\quad et\quad P_2(x+\lambda .y)=x_2+\lambda .y_2\;$

Les trois égalités suivantes montrent que P₁ et P₂ sont des projecteurs:

$(P_1\circ P_1)(x)=P_1(x_1)=x_1\quad et (P_2\circ P_2)(x)=P_2(x_2)=x_2\;$

Ces égalités montrent de plus que P₁ (respectivement P₂) a bien pour image E₁ (respectivment E₂), que la restruction de P₁ (respectivement P₂) sur leurs images est bien l'identité et que leur noyau est E₂ (respectivement E₁). L'égalité suivante montre que leur somme est égale à l'identité:

$(P_1+P_2)(x)=P_1(x)+P_2(x)=x_1+x_2=x=Id(x)\;$

La quatrième proposition implique la troisième proposition

L'égalité suivante montre l'existence d'une décomposition de x comme somme d'un vecteur de E₁ et d'un vecteur de E₂.

$x=P_1(x)+P_2(x)\quad avec\quad P_1(x)\in E_1\; et\; P_2(x)\in E_2\;$

Soit alors une décomposition x = x₁ + x₂ du vecteur comme somme d'un vecteur de E₁ et d'un vecteur de E₂. Les égalités suivantes montre l'unicité de x₁ et x₂.

$P_1(x)=P_1(x_1+x_2)=P_1(x_1)+P_1(x_2)=P_1(x_1)=x_1\;$ $P_2(x)=P_2(x_1+x_2)=P_2(x_1)+P_2(x_2)=P_2(x_2)=x_2\;$

[modifier] Propriétés

Tout sous-espace vectoriel E₁ admet un supplémentaire E₂.
Dans le cas où E est de dimension finie, alors la dimension de E₂ est égale à la codimension de E₁.
Si E₂ est un suplémentaire de E₁, Alors E est isomorphe au produit cartésien E₁xE₂.

Démonstrations

Tout sous-espace vectoriel E₁ admet un suplémentaire E₂.

C'est une conséquence directe du théorème de la base incomplète. Soit une base de E₁, elle forme une famille libre de E, elle peut donc être complétée pour former une base de E. L'espace engendré par les vecteurs complétant la base est un supplémentaire.

Dans le cas ou E est de dimension finie, alors la dimension de E₂ est égale à la codimension de E₁.

La démonstration est donnée dans l'article Codimension.

Si E₂ est un supplémentaire de E₁, Alors E est isomorphe au produit cartésien E₁xE₂.

Considérons l'application qui de E₁xE₂ dans E qui à (x₁,x₂) associe x₁+x₂. Cette application est linéaire, son noyau est, par construction réduit au vecteur nul et son image est E. Il existe donc un isomorphisme entre les deux structures.