Cerchio

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Nota disambigua - se stai cercando cerchio inteso come linea circolare forse cerchi Circonferenza

Nella geometria piana, il cerchio è quella porzione di piano delimitata da una circonferenza^[1], ovvero l'insieme dei punti che distano dal centro C della stessa non più del raggio r; per cui in sistema di assi cartesiani un generico cerchio, di centro (a;b) e raggio R è rappresentato dall'insieme di punti che soddisfano la seguente equazione:

$\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}$

Il cerchio può essere considerato un poligono con un numero di lati infinito, o meglio come il limite di una successione di poligono regolare per N che tende ad infinito

Data una corda sulla circonferenza, ognuna delle due parti in cui questa divide il cerchio si chiama segmento circolare. Se la corda in questione è il diametro, i due segmenti sono congruenti e si chiamano semicerchi.

Un segmento circolare può anche essere la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

L'intersezione fra un angolo al centro, cioè un angolo avente come vertice il centro del cerchio, ed il cerchio stesso (visivamente, un "spicchio" di cerchio) si chiama settore circolare. Se l'angolo al centro è retto, il settore circolare che individua si chiama quadrante; se è piatto, è il semicerchio.

Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici. L'area compresa fra le due circonferenze si chiama corona circolare.

La formula dell'area del cerchio può essere ottenuta a partire da quelle della lunghezza della circonferenza e dell'area del triangolo.

Si immagini un esagono regolare (figura geometrica con sei lati) diviso in triangoli uguali, aventi i vertici nel centro dell'esagono. L'area dell'esagono può essere calcolata moltiplicando la somma delle basi dei triangoli (cioè il perimetro dell'esagono) per la loro altezza e dividendo per due. Questa è un'approssimazione dell'area del cerchio.

Si immagini adesso lo stesso con un ottagono (figura geometria con otto lati): l'approssimazione sarà migliore. All'aumentare del numero dei lati del poligono, l'area sarà sempre più vicina a quella del cerchio. Al tendere dei lati all'infinito, la figura tende ad essere un cerchio, con un perimetro di 2πr ed un'altezza dei triangoli di r: l'area è quindi πr².

La quadratura del cerchio si riferisce all'impossibile compito di costruire con riga e compasso, a partire da un cerchio, un quadrato della stessa area.

Alcuni solidi tridimensionali che possono avere, se tagliati da un piano, sezioni circolari sono la sfera, il cilindro ed il cono.

Il cerchio viene detto inscritto se viene costruito all'interno di una figura piana, e circoscritto se la racchiude.

Indice

1 L'area
- 1.1 Integrazione "a cipolla"
- 1.2 Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano
2 Il perimetro del cerchio
- 2.1 Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano
3 Cerchio, letteratura e filosofia
4 Formulario
- 4.1 Formule geometriche
- 4.2 Formule analitiche
5 Note

[modifica] L'area

[modifica] Integrazione "a cipolla"

Un metodo di integrazione per calcolare l'area del cerchio

Un primo approccio, tramite gli integrali, al calcolo dell'area del cerchio può essere fatto pensando che questa superficie è data dalla somma progressiva di infiniti cerchi concentrici che hanno come valore massimo la circonferenza e come minimo il centro del cerchio. In pratica è come se sommassimo tra di loro infiniti anelli, aventi ognuno spessore infinitesimo. Da questa rappresentazione comprendiamo come il nome legato alla cipolla derivi proprio dalla stratificazione del cerchio, come quella di una cipolla, anche se in due dimensioni. Possiamo dunque chiamare t il raggio del cerchio a cui corrisponde ogni singola circonferenza, la cui lunghezza è 2 $π t$ (notiamo che in questa dimostrazione si dà per assunto questo dato). Quindi possiamo integrare (integrazione definita) 2 $π$ tdt, cioè la funzione che ci dà le diverse circonferenze (separate dal fattore infinitesimo dt), tra il valore massimo e minimo dei loro raggi, r e 0.

$\begin{align} \mathrm{Area}(r) &{}= \int_0^{r} 2 \pi t \, dt \\ &{}= \left[ (2\pi) \frac{t^2}{2} \right]_{t=0}^{r}\\ &{}= \pi r^2. \end{align}$

[modifica] Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano

Per procedere al calcolo dell'area di un cerchio attraverso un secondo metodo consideriamo innanzitutto una circonferenza con centro nell'origine degli assi; questo ci permette infatti di semplificare il caso generico di una circonferenza traslata rispetto all'origine, dato che la traslazione non modifica l'area.
L'equazione di una circonferenza di generico raggio r e centro nell'origine degli assi è:
$x 2 + y 2 = r 2$
Come sappiamo dalla definizione la suddetta formula non è una funzione, in quanto associa a alcuni punti più di un punto. Per risolvere questo inconveniente e integrare la funzione è sufficiente, dopo averla esplicitata rispetto alle ordinate, $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ ,prenderne solo le immagini non negative.
Avremo quindi che l'equazione della funzione che ci descrive la semicirconferenza con centro nell'origine di generico raggio r è $y=\sqrt{r^2-x^2}$
Per conoscere quindi l'area del cerchio completo basta calcolare l'area sottesa alla funzione, tra -r e r :
$\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx$ .
Svolgiamo quindi i calcoli, ricorrendo al teorema fondamentale del calcolo integrale:

$\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx$	$=\left [ \int\sqrt{r^2-x^2}\right ]_{-r}^{r}=$
	$=\left [ \frac{1}{2} \left ( r^2\arcsin\left ({\frac{r}{x}}\right )+x\sqrt{r^2-x^2} \right ) \right ]_{-r}^{r}=$
	$=\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ( {\frac{r}{r}} \right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt{r^2-r^2}}-\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({\frac{r}{-r}}\right )}+\frac{1}{2}{r}{\sqrt{r^2-r^2}}=\,\!$
	$=\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({1}\right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt0}-\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({-1}\right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt0}=$
	$=\frac{1}{2}{r^2}\frac{\pi}{2}+0+\frac{1}{2}{r^2}\frac{\pi}{2}+0=$
	$=\frac{1}{2}{\pi}{r^2}$

Per arrivare alla formula finale ricordiamo che fin dal principio stavamo calcolando l'area tra il grafico della semicirconferenza $y=\sqrt{r^2-x^2}$ e l'asse x, per cui l'area del cerchio con centro nell'origine sarà il doppio: $2\cdot \frac{1}{2}{\pi}{r^2}={\pi}{r^2}\qquad\,$ che è proprio la formula usata comunemente.
Dobbiamo notare che in questa dimostrazione diamo per definita la formula dell'arcoseno (per trovare una primitiva della funzione), e quindi buona parte della trigonometria; questo però significa inserire anche nei concetti necessari per usare questo metodo quello di pi greca, che è indissolubilmente legato al concetto di cerchio e alle relazioni tra le sue parti.

[modifica] Il perimetro del cerchio

[modifica] Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano

Il perimetro del cerchio, che si può definire anche come la lunghezza della circonferenza, si può pensare calcolabile grazie all'integrazione della funzione corripondente alla semicirconferenza, avente centro nell'origine, tra -r e r, cioè il raggio. Ovviamente non possiamo utilizzare l'integrale definito, ma ci serve l'integrale che associa ad una funzione la lunghezza della curva che descrive: la formula di questo integrale, data una funzione f(x) e due punti a e b è:
$\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left ( \dot {f}(x) \right )^2 }\,dx$
Sappiamo che l'equazione di una circonferenza di generico raggio r e centro nell'origine degli assi è:
$x 2 + y 2 = r 2$
Questa, come visto per l'area, va resa una funzione, e per farlo basta dopo averla esplicitata in funzione di y, $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ , prenderne solo le immagini non negative.
L'equazione della funzione che descrive la semicirconferenza che ci serve sarà allora $y=\sqrt{r^2-x^2}$
Per calcolare l'integrale ci serve però la derivata prima della funzione stessa, quindi: $y'=\frac{-2x}{ 2 \sqrt{r^2-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$
Adesso possiamo procedere al calcolo dell'integrale della curva tra -r e r:
Svolgiamo quindi i calcoli, ricorrendo come prima al teorema di Torricelli-Barrow:

$\int_{-r}^{r} \sqrt {1+ \left (\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \right )^2} \,dx$	$=\left [ \int\ \sqrt { 1+ \frac{x^2}{r^2-x^2} } \right ]_{-r}^{r}=$
	$=\left [ \int\ \sqrt { \frac{r^2-x^2+x^2}{r^2-x^2} } \right ]_{-r}^{r}=$
	$=\left [ \int\ \sqrt { \frac{r^2}{r^2-x^2} } \right ]_{-r}^{r}=$
	$=\left [ \int\ \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}} \right ]_{-r}^{r}=$
	$=\left [ \int\ \frac{r}{r\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}} \right ]_{-r}^{r}=$
	$=\left [ \int\ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}} \right ]_{-r}^{r}=$
	$=\left [ r \arcsin \left ( {\frac{x}{r}} \right ) \right ]_{-r}^{r}=$
	$= r \arcsin \left ({\frac{r}{r}}\right ) - r \arcsin \left ({\frac{-r}{r}}\right ) =$
	$= r \arcsin \left ( 1 \right ) - r \arcsin \left ( -1 \right ) =$
	$=r\frac{\pi}{2} +r\frac{\pi}{2} =$
	$= π r$

Ma dal momento che stavamo calcolando la lunghezza dei una semicirconferenza, allora il perimetro del cerchio sarà pari al doppio del valore trovato, cioè: $2 \cdot \pi r = 2 \pi r$
Ed è esattamente il valore che viene utilizzato solitamente.
Come per il calcolo dell'area, dobbiamo ricordare che per la dimostrazione è essenziale conoscere la trigonometria, che implica di fatto la conoscenza del valore di pi greco e il suo legame con le componenti di un cerchio. In pratica quindi quella che abbiamo fatto più che una dimostrazione è una riprova della formula che lega il raggio e la lunghezza di una circonferenza qualunque.

[modifica] Cerchio, letteratura e filosofia

La figura del cerchio e del circolo è al centro dell'opera di Platone. Leonardo da Vinci preferì invece collocare al centro della natura la figura della spirale. Lo stesso fece Ralph Waldo Emerson, introducendo nel suo saggio sui "Cerchi" la figura di cerchi in espansione come simbolo dell'avanzamento dello spirito umano.

[modifica] Formulario

[modifica] Formule geometriche

	Area	Raggio	Diametro	Perimetro
Area	-	$\pi r^2 \,\!$	$\frac{\pi}{4}d^2$	$\frac{P^2}{4\pi}$
Raggio	$\sqrt{\frac{A}{\pi}}$	-	$\frac{d}{2}$	$\frac{P}{2\pi}$
Diametro	$\sqrt{\frac{4A}{\pi}}$	$2r\!$	-	$\frac{P}{\pi}$
Perimetro	$2\sqrt{\pi A}$	$2\pi r\!$	$\pi d\!$

[modifica] Formule analitiche

Avendo le coordinate del centro (X₀,Y₀) e di un punto sulla circonferenza ((X_i,Y_i)) è possibile determinare l'area

Raggio	$\sqrt{(x_0 - x_i)^2 + (y_0 - y_i)^2} \!$
Area	$\pi((x_0 - x_i)^2 + (y_0 - y_i)^2) \!$

date invece le coordinate di tre punti a, b, c qualsiasi sulla circonferenza le coordinate del centro si calcolano come quelle del circumcentro del triangolo^[2]

$x_0 = \frac{b_x}{2a} \quad ; \quad y_0 = \frac{b_y}{2a}$ con

$b_x = \begin{vmatrix} x_a^2+y_a^2 & y_a & 1 \\ x_b^2+y_b^2 & y_b & 1 \\ x_c^2+y_c^2 & y_c & 1 \\ \end{vmatrix}$ $b_y = \begin{vmatrix} x_a^2+y_a^2 & x_a & 1 \\ x_b^2+y_b^2 & x_b & 1 \\ x_c^2+y_c^2 & x_c & 1 \\ \end{vmatrix}$ $a = \begin{vmatrix} x_a & y_a & 1 \\ x_b & y_b & 1 \\ x_c & y_c & 1 \\ \end{vmatrix}$