Supremo e ínfimo

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Em matemática, definem-se os conceitos de cota superior, cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à idéia de limite.

Índice

1 Definições
2 Notação
3 Exemplos
4 Propriedades
5 No conjunto de números reais
- 5.1 Supremo e ínfimo do conjunto vazio

[editar] Definições

Seja $S\,$ , um subconjunto de um conjunto $P\,$ parcialmente ordenado pela relação $\leq\,$ .

Um elemento $M\in P\,$ é dito uma cota superior de $S\,$ se:

$x\leq M,~~\forall x\in S$

Um elemento $m\in P\,$ é dito uma cota inferior de $S\,$ se:

$m\leq x,~~\forall x\in S$

Um elemento $s\in P\,$ é dito supremo de $S\,$ se for a menor das cotas inferiores:

$x\leq s,~~\forall x\in S$ e

$x\leq s',~~\forall x\in S\Rightarrow s\leq s'$

Um elemento $i\in P\,$ é dito ínfimo de $S\,$ se for a maior das cotas inferiores:

$i\leq x,~~\forall x\in S$ e

$i'\leq x,~~\forall x\in S\Rightarrow i'\leq i$

Uma cota superior $M\in P\,$ é dita máximo de $S\,$ se pertence a $S\,$ .

Uma cota inferior $m\in P\,$ é dita mínimo de $S\,$ se pertence a $S\,$ .

[editar] Notação

Se um conjunto $S\,$ possui máximo, ele é denotado:

$\max S = \max_{x\in S}x$

Se um conjunto $S\,$ possui mínimo, ele é denotado:

$\min S = \min_{x\in S}x$

Se um conjunto $S\,$ possui supremo, ele é denotado:

$\sup S = \sup_{x\in S}x$

Se um conjunto $S\,$ possui mínimo, ele é denotado:

$\inf S = \inf_{x\in S}x$

Se $f:S\to P\,$ é uma função de um conjunto $S\,$ em um conjunto parcialmente ordenado $P\,$ , então usa-se a notação:

$\sup f(S) = \inf_{x\in S}(x)$ e suas análogas.

[editar] Exemplos

$[0,1]\,$ possui um elemento mínimo 0 e máximo 1.
$[0,1)\,$ possui um elemento mínimo 0, seu sepremo nos reais é o 1 que não pertence ao conjunto.
$\left\{x\in\mathbb{Q}:x^2 \leq 2\right\}$

Este conjunto possui um supremo real, $\sqrt{2}\,$ e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais.

[editar] Propriedades

$\inf S \leq \sup S\,$ , contanto que ambos existam.
$A\subseteq B \Longrightarrow \sup A \leq \sup B\,$ , contanto que ambos existam.
$A\subseteq B \Longrightarrow \inf B \leq \inf A\,$ , contanto que ambos existam.

As duas últimas propriedades são chamadas de monotonicidade.

[editar] No conjunto de números reais

Todo conjunto de números reais limitado superiormente possui um supremo.
Todo conjunto de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.
O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como $+\infty\,$ .
O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como $-\infty\,$ .
Na notação de supremo, temos que uma função $f:D\to\mathbb{R}\,$ é limitada se e somente se:

$\sup_{x\in D}|f(x)| < \infty$

[editar] Supremo e ínfimo do conjunto vazio

Por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):