Numeri amicabili
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Sono numeri amicabili quelli per cui la somma dei divisori propri di uno è uguale all'altro e viceversa.
Prendiamo un esempio classico: 220 e 284 sono amicabili. 220, infatti, è divisibile per 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 e la loro somma risulta 284; viceversa 284 risulta divisibile per 1, 2, 4, 71, 142 che sommati tra loro restituiscono proprio 220. Altri numeri amicabili sono ad esempio le coppie 1184 e 1210, 2620 e 2924, 5020 e 5564, 17296 e 18416.
Negli ultimi dieci anni la ricerca di numeri amicabili ne ha fatto lievitare esponenzialmente la quantità. Attualmente, al giugno 2006, ne sono noti poco più di 11.000.000, di cui alcuni con migliaia di cifre.
Se un numero è amicabile di sé stesso, cioè se la somma dei suoi divisori è uguale a sé stesso, è chiamato numero perfetto.
I numeri amicabili erano noti ai pitagorici, che attribuivano loro un valore mistico.
Il matematico arabo Thābit b. Qurra al-Ḥarrānī al-Ṣābiʾ (826-901) trovò:
fissato n intero positivo, se i numeri:
p = 3 2^(n-1) - 1
q = 3 2^n - 1
r = 9 2^(2n-1) - 1
sono tre primi dispari, allora la coppia (a,b)
con a = 2npq e b = 2nr
è una coppia di numeri amicali
Osservazioni: 1) per ogni n si ottiene una coppia di numeri amicabili solo se p, q, r sono tutti primi 2) non tutte le coppie amicabili si ottengono con queste formule; per esempio (1184, 1210) non si trova in questo modo.
Fermat nel 1636 annunciò di avere trovato la coppia (17296,18416), che però era sicuramente già nota all'arabo Ibn al-Banna de Marrakech (1256-1321), e probabilmente anche al citato Thābit ibn Qurra, poiché si ottiene dalla sua formula per n = 4. Descartes trovò (9363584, 9437056), che si ottiene dalla solita formula per n=7. Eulero pubblicò nel 1750 una lista comprendente 60 coppie di numeri amicali, ignorando curiosamente la seconda in ordine di grandezza (1184, 1210), che venne poi scoperta da Paganini nel 1866 all'età di 16 anni.
In tutti i casi conosciuti, i numeri di una coppia sono o entrambi pari o entrambi dispari, nonostante non ci siano ragioni note per cui questo debba avvenire necessariamente. Inoltre, ogni coppia conosciuta condivide almeno un fattore. Non si sa se esistano coppie di numeri coprimi amicabili, ma se esistono il loro prodotto deve essere maggiore di 1067.
