ディラックのデルタ関数

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数学におけるディラックのデルタ関数 (Dirac delta)、制御工学におけるインパルス関数 (impulse function)とは、次の条件を満たす実超関数 δ のことである。

$\delta(x) = 0 \mbox{ if } x \neq 0$
$\int^{\infty}_{-\infty} \delta(x)\,dx = 1$

単にデルタ関数 (delta function, delta distribution) とも呼ばれる。名称は物理学者ポール・ディラックに由来する。定義の第 2 の条件は、次のようにも書かれる: 実連続関数 f: R → R に対し、

$\int^{\infty}_{-\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0).$

δ(x) をデルタ関数と呼び、あたかも通常の関数であるかのように扱うことも珍しいことではないのであるが、デルタ関数は通常の意味では関数ではないということには注意が必要である。例えば、デルタ関数が初等関数や一般の連続関数で表わすことができないことはすぐにわかる（連続関数が 1 を満たせばそれは常に 0 なる関数であって 2 を満たせず、2 を満たし、点 0 において非零な連続関数は 0 を含む小区間で非零でなければならない）。点 0 においてのみ不連続であることを認めても、条件の積分が通常の関数の（広義）リーマン積分であればやはり 1 を満たせば積分値は 0 であるし、ルベーグ積分においてもこのような関数は0と同じとみなされて積分値が 1 になることはない。したがって、このような条件からは通常の関数が定まることはないのである。

通常の意味ではまったく関数ではないデルタ関数は、しかし応用上非常に有用であり、数学的にきちんと定式化することは純学的にも応用学的にも重要なことである。

[編集] 関数の極限としての定式化

初等関数である正規分布の密度関数

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

は、デルタ関数の満たすべき条件の第 2

$\int^{\infty}_{-\infty}f(x)\,dx = 1$

を満たす。さらに、μ = 0 で σ → 0 とすれば f(x) → 0 (x≠0) である。これは、σ → 0 とすることで、デルタ関数の満たすべき条件の第 1 を満たすような状態に収束させ得ることを示している。従って、少なくともデルタ関数の一つは、関数の極限として

$\delta(x) = \lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$

と表現できる。デルタ関数の表現に正規分布を用いたが、このことから、デルタ関数は正規分布の一種であると考えることが可能である。デルタ関数は、特殊な確率分布の表現に有用である。

[編集] 佐藤超関数としての定義

佐藤超関数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値

$\delta(x):= \frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x+ i0} -\frac{1}{x- i0}\right)$

と定義される。ここで抽象的境界値とは正則関数のある種の同値類を表すが、直感的には x ≠ 0 ならば

$\frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x+ i0} -\frac{1}{x- i0}\right) = \frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x} -\frac{1}{x}\right) =0$

である。また、デルタ関数の最も重要な性質である

$\int \delta(x)f(x)\,dx= f(0)$

は、複素解析学のコーシーの積分公式から導かれる。厳密な定義には層係数のコホモロジー論を必要とするが、1 変数の場合は比較的容易に理論展開出来る．

[編集] 線型汎関数としての定義

汎関数とは（関数の成す）ベクトル空間を定義域にもつ関数のことである。シュヴァルツの超関数（分布、distribution）の理論による定式化では、ディラックのデルタ関数は、R 上のコンパクト台無限階微分可能な関数の成す位相ベクトル空間を $C^{\infty}_0(\mathbb{R})$ とした時