位相同型

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位相同型 (いそうどうけい、homeomorphic) とは、2 つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 単に同相 (どうそう) ともいう。

例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」で双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が 1 つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップも同じく同相である。 しかし、球とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。 ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。

[編集] 定義

位相空間 A から位相空間 B への連続写像 f が全単射で、その逆写像も連続であるとき、f を同相写像 (homeomorphism) という。A と B との間に同相写像が存在するとき、A と B は同相であるという。

[編集] 性質

明らかに、同相写像の逆写像は同相写像であり、同相写像の合成も同相写像である。同相写像は開集合を開集合に、閉集合を閉集合にうつし、位相的構造を保つ。つまり、位相空間としての性質(コンパクト性、連結性など)を変えない。

同相写像は、位相空間の圏の同型射である。

[編集] 微分同相

2 つの多様体の間には微分同相という概念を考えることができる。 多様体間の同相写像 f が Cⁿ 級（n 回微分できて、n 階の導関数が連続）で、その逆写像も Cⁿ 級である時、f を Cⁿ 級微分同相（写像）(diffeomorphism of class n) という。