偏差値

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偏差値（へんさち、Standard score）とは、ある数値が母集団の中でどれくらいの位置にいるかを表した無次元数。 平均値が50、標準偏差が10となるように標本変数を規格化したものである。だいたい75から25まで分布しているが、それを超える事もある。 偏差値の利用価値が高いのは、母集団の数値の分布が正規分布に近い状態の時である（正規分布とは平均値をピークとする釣鐘状の分布形状の一種）。 分布のピークが2箇所ある場合など、正規分布と大きく異なる場合には適切な指標となりえない場合がある。

理想的な場合は、40から60の間に約68.3%、30から70の間に約95.4%、20から80の間に約99.73%、10から90の間に約99.9937%、0から100の間に約99.999953%が含まれる事が知られている。平均値から大きく離れた場合は0から100の間に収まらないが、その確率は非常に低く、約0.000047%、つまり約200万個中の１つしかない。偏差値の上限値、下限値は元となる標本の分布によって決まるものであり、場合によってはいかなる実数をもとりうる。

偏差値は次の式で求まる。

偏差値

n:標本数　Σ:総和　x_i:個々の標本値　:平均値　y:偏差値を求めたい標本の値

なお分母は標準偏差にあたり、 は偏差である。偏差が0であるとき（ある標本値が平均値に等しいとき）は偏差値は50となる。また標準偏差が0である場合、つまり全ての標本値が同じ値であるときはこの式では偏差値は定義できないが、その場合は便宜上全ての標本値の偏差値を50と考えることがある。

[編集] 応用例

学力検査の結果を表す学力偏差値は、入学試験の成功率の判定などに広く使われている。単に偏差値という場合、この学力偏差値を指す事が多い。

知能検査の結果を表す知能偏差値は、教育などに役立てるために、知能指数などとともに使われている。

又、何らかの格付け表が作成される場合、比喩的に偏差値が用いられる事がしばしばある。もちろんこの場合でいう“偏差値”とは、根拠あるデータを元に統計学的に得られた値ではなく、リスト作成者ら個々人の受験経験で身に付いた偏差値に対する感覚に基づいている事が多い。

[編集] 関連項目

• 統計
• 標準偏差 - 正規分布
• 学力偏差値