結び目理論

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結び目理論（むすびめりろん、knot theory）とは、紐の結び目を数学的に表現し研究する学問で、低次元位相幾何学の一種である。（組合せ的位相幾何学や代数的位相幾何学とも関連が深い）

たとえば日常で、靴の紐などを蝶結びするとき、ちょっとした違いで縦結びになったり横結びになったりすることはよく知られていることである。このようなとき、結び目理論では、紐の両端をつないで輪の形にすることで、これらの結び目が図形としてどのように異なるか（あるいは同じものなのか）ということを数学的に明らかにすることができる。

一般に、二つの結び目（あるいは絡み目）が同じであるかどうかは、ライデマイスター移動などの局所変形や交差の入れ替えなどの結び目解消操作を用いて調べられる。

主に、結び目や絡み目の分類は、結び目不変量 (knot-invariant) あるいは絡み目不変量 (link-invariant) と呼ばれる "量" の発見と構成が主である。例えば、絡み目の外部の基本群を周辺構造 (peripheral structure) 込みで考えたものは、結び目の完全不変量である。しかし、肝心の群の分類が容易ではないためこれを不変量として用いることはほとんどないようである。主に使われる不変量はアレクサンダー多項式などの多項式不変量や、結び目解消数 (unknotting number) などである。

なお、Haken による正則曲面 (normal surface) の理論により、任意に与えられた 2 個の結び目が同値であるか否かを判定するアルゴリズムが存在することが知られている。

近年では DNA やタンパク質の異性体の構造などの研究にも関連して注目されている。

[編集] 定義

[編集] 結び目

一次元球面（単位円周） S¹ から三次元球面 S³ への単射連続写像 K あるいは K の像のことを結び目（むすびめ、knot）という。ここで、三次元球面 S³ とは三次元ユークリッド空間 R³ に、一点 {∞} を付け加えたコンパクト等質空間である。

要するに、三次元空間の中に浮かぶ絡まった 1 つの輪っかのことを数学では結び目というのである。日常語の意味での結び目とはかけ離れているように思われるが、紐の両端をくっつけて結び目を緩めた状態を想像してみると、なぜ上で言うようなものが数学で結び目と呼ばれるのか、実感できることと思われる。

[編集] 絡み目

結び目は絡まった輪っか一つだけである。二つ以上の結び目が互いに絡まりあったものを考えたほうがいろいろと便利であることが多いので、それを絡み目（からみめ、link）と呼ぶ。正確には結び目と同様に次のように定義される。

いくつかの一次元球面の集合としての直和 S¹ ∪ S¹ ∪ … ∪ S¹ から三次元球面 S³ への単射連続写像 L あるいはその像のことを絡み目と呼ぶ。絡み目の連結成分の数を単に絡み目の成分数と呼ぶ。すなわち n 個の S¹ の直和を埋め込んだ絡み目の成分数は n である。

[編集] 結び目の表示方法

結び目、絡み目は三次元空間に浮かんでいるが、これを二次元に射影して二次元の曲線のように表現することができる。このとき、三つの線が互いに一点で重なり合わないように射影してやると、奥にある線のうえを手前にある線が横切るとき、その交点で奥にある線がちょっと切れているように描けば、線の前後関係を損なうことなく結び目を二次元に射影することができる。これを結び目の正則表示（せいそくひょうじ、regular presentation）という。

結び目とその正則表示の例

自明な結び目	三葉結び目

八の字結び目	成分数 2 の絡み目

このほかには、ドウカーの表示法やコンウェイの表示法、すこし異なるものにアルティンのブレイド群による表現などがある。

[編集] 結び目の分類

[編集] 同値性

位相幾何学であるから、与えられた結び目が、ある結び目を切ったり貼ったりすることなく連続的に変形していったものと一致するなら、もともと 2 つの結び目は同じであったと考える。すなわち、

2 つの結び目 K, K' に対し、S³ × [0, 1] 上の自己同相写像 H と自己同相 h: S³ → S³ の組で次の条件

h(K) = K' ,

H|_S³×{i} (for all i ∈ [0, 1]) は S³ × {i} 上の同相写像,

H|_S³×{0} = id_S³, H|_S³×{1} = h

を満たすもの（アンビエント・アイソトピック）が存在するとき、K と K' は同値な結び目であるという。（<-- fix me. 間違いがあれば指摘をお願いします。）

自明な結び目と同値な結び目は解けている（ほどけている）という。

同値な結び目の例

解けている結び目の簡単な例

[編集] ライデマイスター移動

結び目の局所変形（きょくしょへんけい、local move）すなわち、一部分を連続的に変形することで、幾つかの結び目が "同じ" かどうか調べることができるが、その代表的なものとして、次の変形を考えることができる。

**ライデマイスター移動**

Type I	Type II

Type III

さらには、結び目の局所変形の手順というのは、このライデマイスター移動と呼ばれる変形の組合せで行うことができる。二つの同値な結び目は有限回のライデマイスター移動で互いに移りあう。また特に、ライデマイスター移動 II, III のみによって移りあう結び目どうしは正則同位（せいそくどうい、regular isotopy）であるといい、すべてのライデマイスター移動で移りあう結び目どうしは全同位であるという。

[編集] 結び目不変量

何かの分類をするために、それとは別のものでパラメータ付けしようというのは数学の各分野でよくおこなわれることである。結び目についても、与えられた 2 つの結び目が同値かどうかを判断する "指標" として結び目不変量を考える。

結び目不変量は同値（つまり同じ）結び目には同じ指標が当てられるようにした（対偶を考えれば、与えられた 2 つの結び目が互いに異なる不変量を持つなら同値ではない）もののことである。たとえば、2 つの結び目が同値なら有限回のライデマイスター移動で移りあうので、結び目不変量はライデマイスター移動の各手順で変わることはない。簡単な例としては、絡み数や三彩色不変性などがある。

ただし、逆は言えない。つまり、同じ不変量を持つからといってそれらの結び目が同じかどうかは分からない。これがいえるような不変量を完全な不変量という

[編集] 多項式不変量

結び目の不変量で、特に多項式となっているものを多項式不変量という。これには、伝統的に、正負の（分数）冪を許す多項式不変量も含まれる。多項式不変量の最初の例は、1928年にアレキサンダーが構成したアレクサンダー多項式である。これは絡み目の補空間の基本群から定義できる。其の後コンウェイによるアレクサンダー多項式のスケイン関係式による再定式化（アレキサンダーコンウェイ多項式）を経て、1984年にジョーンズによって全く新しい多項式不変量ジョーンズ多項式が発見された。是は長らく唯一であった多項式不変量に新たな種類を付け加えたのみならず、統計力学や量子場の理論、量子不変量、量子群など他の分野との関連の膨大な研究を生み出すことになった。その後アレキサンダー多項式、ジョーンズ多項式をそれぞれ特殊な場合に含むホンフリー多項式が発見され、これらの外にも幾つかの多項式不変量が知られている。

残念なことに上に挙げた何れの多項式不変量も完全に結び目を分類することは出来ない。つまり同じ多項式の値を有つ異なる結び目が存在するのである。しかし、スケイン関係式を満たすどんな多項式不変量も、完全には結び目を分類できないかどうかなどに就いてはまだ分かっていない。

（スタブ。以下書けたらいいなと思う項目。）