Математика

Од Википедија, слободна енциклопедија

Портал: Математика

Евклид, детал од „Атинската школа“ од Рафаел

Зборот Математика може да се дефинира како логички строга студија на теми како квантитет, структура, простор и промена. Друг став до кој се држат многу математичари вели дека математиката е збир од знаења кој претставува предмет дедуктивно расудување, почнувајќи со аксиоми и дефиниции.

Математиката се користи низ целиот свет во сферите на науката, инженерството, геометарството, медицината и економијата. Покрај тоа што се користат со математиката, овие полиња претставуваат и инспирација за напредок во математиката. Нова математика исто така се создава заради самата себе, без некоја посебна примена на ум.

Зборот „математика“ доаѓа од грчкиот збор μάθημα (матема) што значи наука, знаење или учење и μαθηματικός (математикос), што значи љубител на учењето.

Содржина

1 Историја
2 Инспирација, чиста и применета математика и естетиката
3 Нотација, јазик и строгост
4 Дали математиката е наука?
5 Преглед на математичките полиња
6 Главни теми во математиката
7 Извор
8 Видете исто така

[уреди] Историја

Главна статија: Историја на математиката

Еволуцијата на математиката може да се гледа како серијал на сè поголема апстракција, или можеби ширење на темите. Пвата апстракција веројатно била апстракцијата на броевите. Констатацијата дека две јаболки и две круши имаат нешто знаедничко, имено дека ги пополнуваат рацете на точно еден човек, било епохално октритие за човештвото. Притоа праисториските народи не само што научиле да бројат конкретни предмети, туку и апстрактни квантитети, како време -- денови, годишни времиња и години. Аритметиката (како на пр. собирање, одземање, множење и делење) дошле како природно следство. Монолитските споменици сведочат за постоењето и на геометријата.

За секој понатамошен чекор било потребно писмо или некој друг принцип на запомнување на броеви како цртки или јаженца со јазли наречени кипу кои се користеле во царството на инките за зачувување на нумерички податоци.

Уште од почетокот на запишаната историја, главните потреби за математиката биле даночењето и трговијата, соодносот меѓу броевите, мерење на земја и претскажување на астрономски настани. Овие потреби се општо поврзани со категориите во математиката: квантитет, структура, простор и промена.

Одтогаш математиката е многу проширена со многу плодородно взаемно дејство помеѓу математиката и другите науки и обратно.

[уреди] Инспирација, чиста и применета математика и естетиката

Главна статија: Математичка убавина

Математиката се јавува секаде каде што постојат комплицирани проблеми со квантитет, структура, простор или промена. Најпрвин овие се јавувале во трговијата, мерење на земја и подоцна во астрономијата; денес, проблеми за математичарите се јавуваат кај сите науки, а многу проблеми исто така се јавуват и во самата математика. Њутн ја измислил анализата на бесконечно мали вредности и Фејман неговата Фејманова патна интеграла користејќи се со комбинација од расудување и физички набљудувања, како и денешната теорија на струните која претставува инспирација за нови математички подвизи. Дел од математиката е релевантна само на она кое ја инспирирало, и се применува за решавање на понатамошни проблеми во таа област. Но често математиката која е инспирирана од едно нешто се покажува како корисна во многу сфери.

кај речиси сите научни предмети, експлозијата на знаење во научното доба е директно одговорно за специјализацијата во математиката. Една главна поделба е помеѓу чиста математика и применета математика. Во рамките на применетата математика постојат две главни области, статистика и информатика.

Многу математичари зборуваат за елеганцијата на математиката, нејзината вродена естетика и внатрешната убавина. Едноставноста и генералноста се на цена. Постои и убавина во итриот доказ, како Евклидовиот доказ дека постојат бесконечно многу прости броеви.

[уреди] Нотација, јазик и строгост

Главна статија: Математичка нотација

Речиси сета математичка нотација која ја користиме денес не била измислена сè до 16-тиот век. Пред тоа, математиката била испишувана со зборови, маконтрпна процедура која ја ограничувала математичката иновација. Современата нотација му ја олеснува математиката на стручњакот, но почетниците често ја гледаат како баук. Таа е екстремно збиена: неколку знаци содржат голем број информации. Како и музичката нотација, современата математичка нотација има строга синтакса со шифрирана информација која би била речиси невозможна да се напише на било кој друг начин.

Математичкиот јазик е исто така тежок за почетници. Дури и обичните зборови како или и само имаат попрецизно значење отколку кај секојдневниот говор. Математичарите, како правниците, се стремат да бидат што по недвосмислени и јасни. Исто така збунителни за почетниците се зборовите отвори и поле кои во математиката имаат посебно значење и математичкиот жаргон содржи технички изрази како „хомеоморфизам“ и интегралност. Хенри Поинкаре бил избран за член на Француската Академија (Académie Française) само за да им каже на членовите како да го дефинираат зборот automorphe во нивниот речник. Но за овие нотации и жаргони постои добра причина. Математичарите ја нарекуваат прецизноста во математиката и логиката „строгост“.

Строгоста на фундаментално ниво е предмет на математички доказ. Математичарите се трудат нивните теореми да следат од аксиоми по пат на систематично расудување. Ова служи за избегнување на погрешни „теореми“, засновани на погрешливи интуиции, кои се имаат случено доста пати во историјата (како на пример кај математичката анализа). Нивото на строгоста во математиката варирала през времето; грците очекувале детални аргументи, но веќе во времето на Исак Њутн методите биле помалку строги. Денес математичарите расправаат за компјутеризирани докази. Бидејчи при сметањето грешките се можни, ваквите докази немора да значи дека ќе бидат доволно строги.

Традиционално аксиомите се сметаат за „вистини очигледни сами по себе“, но дека нивната замисла е проблематична. На формално ниво, аксиомата е само една нишка од знаци, која има внатрешно значење само во контекст на целосно изводливи формули кај аксиоматичкиот систем.

[уреди] Дали математиката е наука?

Карл Фрифрих Гаус ја нарекол математиката „Кралица на науките“. Ако сметаме дека науката треба да се занимава само со физичкиот свет, тогаш математиката, или барем чистата математика, не е наука. Кар Попер сметал дека математиката не е експериментално погрешлива и затоа не е нука. Друг став кај некои полиња (како кај теоретската физика) е дека математиката треба да содржи аксиоми кои соодветствуваат на реалноста. Свушност, теоретскиот физичар, J. M. Циман, се има искажано дека смета дека науката е јавно знаење и затоа математиката ѝ припаѓа на неа. [1] Во секој случај, математиката има многу заедничко со физичките науки, особено со истражувањето на логичките последици од хипотезите. Интуицијата и експериментацијата исао така играат улога во обликувањето на хипотезите како во математиката, така и во другите науки. Како што експерименталната математика расте во важност во рамките на математиката, и копмјутерските симулации играат сè поголема улога во науките и математикара, примедбата дека математиката не ја користи научната метода станува сè послаба.

Ставовите на математичарите по оваа тема се различни. Додека некои математичари што се занимаваат со применета матекатика се сметаат за научници, оние кои работат на чиста математика сметаат дека се повеќе логичари, отколку научници и затоа дека се во основа, философи. Мнозина математичари сметаат дека со тоа што математиката се нарекува наука се омаловажува нејзината естетска улога, и нејзината теорија во традиционалните седум уметности; други пак, решаваат да ја игнорираат поврзаноста на математиката со науките. Постои интересна дебата на тема дали математиката е создадена (како уметностите) или откриена (како науките).

[уреди] Преглед на математичките полиња

Како што споменавме погоре, главните математички дисциплини настанале со потребите во трговијата, односите помеѓу броевите, мерењет на земја и претскажувањето на астрономски појави. Овие четири потреби соодветствуваат на поделбата на математичката тематика на квантитет, структура, простор и промена (т.е. аритметика, алгебра, геометрија и анализа). Покрај овие главни теми, постојат и ограноци кои се занимаваат со истражување на врските помеѓу математиката и другите научни полиња: со логиката, со теоријата на множествата (основите) и со емпириската математика кај разните науки која се нарекува (применета математика).

Изучувањето на квантитетот започнува со броеви, најпрвин познатите природни броеви и цели броеви и нивните аримтетички операции, кои се окарактеризирани во самата аритметика. Подлабоките својства на целите броеви се изучуваат во теоријата на броевите.

Изучувањето на структурата започнало со истражувањето врз Питагорината тројка. Нелоитските споменици на Британските острови се направени со помош на Питагорини тројки. Потоа ова довело до пронајдокот на поапстрактни броеви, како квадратниот корен. Подлабоките структурни својства на броевите кои се изучуваат во аптрактната алгебра и истражувањето врз групи, кола, полиња и други апстрактни бројни системи. Исто така тука спаѓа и важниот систем на вектори, генерализирани до векторски простори кои се изучуваат и во линеарната алгебра. Изучувањето на векторите ги содинува трите фундаментални математички полиња, квантитет, структура и простор.

Изучувањето на просторот започнало со геоматријата, со почеток во Евклидовата геометрија. Тригонометријата ги содеинува просторот и бројот. Современиото изучувње на просторот вклучува и повеќе димензии, неевклидските геометрии (окои се од суштинско значење за општиот релативитет) и топологијата. Просторот и квантитетот играат улога кај аналитичката геометрија, диференцијалната геометрија и алгебарската геометрија. Во рамките на дифиренцијалната геометрија постојат концептите влакнести снопови и анализа на многуобразности. Во рамките на алгебарската геометрија постои и опис на геометриски тела како множества на решенија на полиномни равенки, кои ги соедниваат концептите на квантитет и простор, како и изучувањето на тополошки групи, кои пак ги соединуваат структурата и просторот. Ли групите се користат за изучување на простор, структура и промена. Топологијата во сета своја разгранетост веројатно е најбрзо растечката област во математиката од 20-тиот век.

Проучувањето и описот на промени е честа тема на природните науки иматематичката анализа и истиот претставува многу корисна алатка. Главниот концепт за опис на промена на квантитет е функцијата. Многу проблеми природно водат до нивниот квантитет и степенот на промена, како и до методите на диференцијални равенки. Броевите се чија помош се изразуваат континуираните квантитети се нарекуваат реални броеви, а деталното истражување на нивните својства и својствата на реално-борјните функции се нарекува реална анализа. Овие се генерализирани, со додавање на квандратниот корен од -1 на комплексни броеви, кои се изучуваат во комплексната анализа. Функционалната анализа се концентрира на (обично бесконечно-димензионални) простори на функциите. Една од честите примени на фукнционалната анализа е кај квантната механика. Многу природни феномени се објаснуваат со динамички системи; теоријата на хаосот ги прецизира начините на кои многу од овие системи прикажуваат непредвидливо, но сепак детерминационо однесување.

По квантитетот, структурата, просторот и промената постојат области на чиста математика на кои може да им се пријде само до дедуктивно расудување. За разјаснување на основите на математиката биле измислени полињата математикчка логика и теорија на множества. Математичката логика која се дели на теорија на рекурзија, теорија на модели, и теорија на докази, денеска е тесноповрзана со информатиката. Кога комјутерите биле за прв пат измислени, математичарите обликувале неколку важни теоретски концепти во информатиката, коие водат до полињата на теоријата на пресметливоста, теоријата на пресметковната комплексност и информационата теорија. Многу од овие теми денес се истражуваат во рамките на теоретската информатика. Математичките полиња кои се занимаваат со информатиката се нарекуваат дискретна математика.

Статистиката е важно поле на применетата математика кое ја ползува теоријата на веројатност како алатка и овоможува опис, анализа и предвидување на феномени во кои игра улога случајноста. Оваа се употребува во сите науки. Нумеричката анализа пак, истражува пресметковни методи за ефикасно решавање на широк спектар математички проблеми кои се преголеми за човековиот капацитет; ова го содржи и изучувањето на грешките при заокружување или други извори на грешки при пресметките.

[уреди] Главни теми во математиката

[уреди] Квантитет

Квантитетот почнува со броење и мерење.

$1, 2, \ldots \,$	$\ldots, -1, 0, 1, \ldots \,$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots \,$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots \,$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots \,$
Природни броеви	Цeли броеви	Рационални бреоеви	Реални броеви	Комплексни броеви

Број – Хиперкомплексни броеви – Кватерниони – Октониони – Седениони – Хиперреални броеви – Надреални броеви – Редни броеви – Основни броеви – п-адични броеви – Целобројни низи – математички константи – Називи на броеви – Бесконечност – Радикс

[уреди] Структура

Поимување на големина, симетрија и математичка структура.

$36 \div 9 = 4$
Аритметика	Теорија на броеви	Апстрактна алгебра	Теорија на групи	Броен ред

Моноиди – Кола – Полиња – Линеарна алгебра – Алгебарска геометрија– Универзална алгебра

[уреди] Простор

Визуелен пристап кон математиката.


Геометрија	Тригонометрија	Диференцијална геометрија	Топологија	Фрактална геометрија

Алгебарска геометрија – Диференцијална топологија – Алгебарска топологија – Линеарна алгебра – Комбинаторска геометрија – Многуобразија

[уреди] Промена

начин на исразување и работа со промени кај математичките функции и промени помеѓу броевите.

		$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Математичка анализа	Векторска анализа	Диференцијални равенки	Динамички системи	Теорија на хаосот

Анализа – Реална анализа – Комплексна анализа – Фукнционална анализа – Специјални функции – Мера – Хармониска анализа – Анализа на варијации

[уреди] Темели и методи

Приоди кон спознавањето на природата на математиката.

$P \Rightarrow Q \,$
Математичка логика	Теорија на множества	Теорија на категории

Основи на математиката – Философија на математиката – Интуиционизам – Конструктивизам – Теорија на докази – Теорија на модели – Обратна математика

[уреди] Дискретна математика

Дискретната математика содржи техники кои се применуваат врз тела кои можат да имаат само специфични, засебни вредности.

$\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}$	Слика:Fsm moore model door control.jpg
Комбинаторика	Пресметковна теорија	Криптографија	Теорија на графи

Теорија на пресметковност – Теорија на пресметковна комплексност – Информациона теорија

[уреди] Применета математика

Применетата математика има за задача да развива нова математика за решавање на проблеми во вистинскиот живот.

Математичка физика – Механика – Механика на течностите – Нумеричка анализа – Оптимизација – Веројатност – Статистика – Математичка економика – Финансова математика – Теорија на игрите – Математичка биологија – Криптографија – Математиката и архитектурата – Математика на музичките скали

[уреди] Важни теореми

Следниве теореми ги интересираат и математичарите и не-математичарите.

Видете листа на теореми за повеќе

Питагорина теорема – Последна Ферматова теорема – Геделови теореми за нецелосност – Основна теорема на аритметиката – Основна теорема на алгебрата – Основна теорема на анализата – Канторов дијагонален аргумент – Четирибојна теорема – Цорнова лема – Ојлеров идентитет – Класификациони теореми за рамнините – Гаус-Бонетова теорема – Квадратен реципроцитет – Рајман-Рохова теорема.

[уреди] Важни хипотези

Видете листа на хипотези за повеќе

Ова се дел од главните засега нерешени проблеми во математиката.

Голдбахова хипотеза – Хипотеза за простите броеви – Риманова хипотеза – Поинкарева хипотеза – Лолацова хипотеза – P=NP? – отворени Хилбертови проблеми.

[уреди] Историјата и светот на математиката

Видете исто така листа на теми во историјата на математиката

Историја на математиката – Математички времеплов – Математичари – Филдов медал – Абелова награда – Милениумски наградни проблеми – Интернационален математички сојуз – Математички натпревари – Латерално мислење – математичко образование – Математички способности и пол