Kromme (wiskunde)

Van Wikipedia

Enkele wiskundige krommen: een hypocycloïde (blauw), een epicycloïde (groen) en een cardioïde (rood)

Een kromme is een begrip uit de wiskunde, o.a. de meetkunde, waarmee in het algemeen een niet-rechte lijn wordt aangeduid. Meestal betreft het de grafiek van een functie die geen rechte lijn vormt.

[bewerk] Parametrisering

Heel algemeen kan een kromme in het platte vlak gegeven worden door de coördinaatfuncties x(t) en y(t), waarbij de parameter t een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt.

[bewerk] Voorbeeld

De eenheidscirkel wordt gegeven door:

$x(t)=\cos(t)\,$

$y(t)=\sin(t)\,$

voor

$t\in [0,2\pi)\,$ .

[bewerk] Booglengte

Zie booglengte voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een klein stukje ∆s kan de booglengte met de stelling van Pythagoras benaderd worden

De lengte van delen van de kromme, dus gemeten langs de kromme, kan gevonden worden door een klein stukje ds van de kromme te integreren. Er geldt na het nemen van de limiet van Δ s → 0 (Stelling van Pythagoras):

$ds^2=dx^2+ dy^2\,$ ,

zodat:

$s(t_0)=\int_0^{t_0}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\,$ ,

mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.

[bewerk] Voorbeeld (vervolg)

De booglengte van de eenheidscirkel is:

$s(t_0)=\int_0^{t_0}\sqrt{\left(-\sin(t)\right)^2+\left(\cos(t)\right)^2}dt=t_0\,$ ,

Zo is bijvoorbeeld de omtrek gelijk aan:

$s(2\pi)=2\pi\,$ .

[bewerk] Raaklijn

Zie raaklijn voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De raaklijn aan een kromme in een punt (x(t),y(t)) van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme, dus:

$\frac{y-y(t)}{x-x(t)} = \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} \,$

[bewerk] Voorbeeld (vervolg)

De raaklijnen aan de eenheidscirkel worden gegeven door:

$\frac{y-y(t)}{x-x(t)} = -cot(t) \,$

Zo is bijvoorbeeld de raaklijn in het punt (1,1):

$\frac{y-1}{x-1} = -cot(\frac 14 \pi)= -1 \,$

anders geschreven:

$y = 2-x \,$

[bewerk] Kromtestraal

De mate van kromming van een kromme kan beschreven worden door de straal van de cirkel die in het beschouwde punt het best bij de kromme aansluit. Het middelpunt van die cirkel is het snijpunt van de loodlijnen op de raaklijnen in (x(t),y(t)) en (x(t+dt),y(t+dt)). Daaruit volgt voor de kromtestraal $ρ$ :

$\rho(t)=\left(1+\theta(t)^2 \right)^{\frac 32}\left|\frac{dx}{dt}/\frac{d\theta}{dt}\right|\,$ ,