Görbe (matematika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában a görbe fogalma az egydimenziós és folytonos dolgokról alkotott intuitív képet igyekszik megragadni. Egyszerű példa görbére a kör és az egyenes vonal. Sok más görbét tanulmányoz a geometria, illetve a differenciálgeometria.

[szerkesztés] Definíciók

A görbe fogalma nem adja magát olyan könnyen, mint más matematikai fogalmak; nincs olyan definíció, ami minden kívánalmat kielégítene, ezért alkalomhoz illőn kell választani a lehetőségek közül. Természetes módon adódik az a lehetőség, hogy görbén egyszerűen pontok egy halmazát értjük. Ez a szemlélet bizonyos helyzetekben, pl. az algebrai geometriában megfelelő, ám más kontextusokban mind elméletileg, mind az alkalmazásokban komoly nehézségeket vet föl; ez indokolja az első látásra bonyolultabb alternatívák felmerülését.

A paraméterezett görbét úgy definiálhatjuk, mint egy γ folytonos leképzést egy [a,b] valós intervallumról valamilyen X topologikus térbe. Ez a meghatározás a görbe és a fizikai mozgás közti kapcsolatra épül; elképzelhetjük úgy is, hogy egy pontszerű tárgy mozgása írja le a görbét, ennek megfelelően az intervallumon futó változót a leggyakrabban t-vel vagy τ-val jelölik, ami az időre utal.

Az X a klasszikus esetben egy Euklideszi tér, vagy más differenciálható sokaság; ilyen esetben gyakran beleértik a görbe definíciójába, hogy a γ valahányszor differenciálható, vagy folytonosan differenciálható.

A fenti a meghatározás nem mindig lényeglátó, mert különbözőnek tekint két görbét, ha különböző ütemben vonul rajtuk végig a γ(t) pont. Ezt úgy küszöbölhetjük ki, hogy azonosnak tekintjük a γ:[a,b]→X és a φ:[c,d]→X görbéket, ha van olyan h:[a,b]→[c,d] homeomorfizmus, amire φ(h(t))=γ(t) minden [a,b]-beli t-re, ami köznapi nyelven éppen azt fejezi ki, hogy csak átütemeztük ugyanazt a mozgást. Ha a görbe irányítása fontos, akkor ki kell kötni, hogy a h növekvő; ha differenciálható görbékről beszélünk, akkor pedig azt, hogy megfelelő rendben diffeomorfizmus legyen. Ez az azonosítás úgy tehető matematikailag precízzé, hogy ekvivalenciarelációként vezetjük be, és a paraméterezett görbék ekvivalenciaosztályaival foglalkozunk. Az így kapott görbefogalom még mindig érzékenyebb a ponthalmaz-szemléletnél; például különbséget teszünk aközött, hogy a görbe egyszer megy körbe egy körvonalon, és aközött, hogy kétszer.

Zárt görbének nevezzük az [a,b]-n értelmezett paraméterezett γ görbét, ha γ(a)=γ(b), vagyis ha végül visszatér a kiindulópontba. Ha azonban differenciálható görbékről van szó, akkor ennyi rendszerint nem elég (mert attól még, hogy visszaér, "sarka" lehet a kezdőpontban), ilyenkor azt szokás feltenni, hogy a γ (b–a) periódussal periodikusan kiterjeszthető a teljes $\mathbb R$ számegyenesre a kívánalmaknak megfelelően.

[szerkesztés] Ívhossz

Metrikus térben egy paraméterezett görbe ívhosszát a "beírt töröttvonalak" segítségével értelmezhetjük. (Az idézőjel oka az, hogy általános metrikus térben nincs szó valódi töröttvonalról, igazából csak osztópontokat veszünk fel.) Nevezzük az [a,b] intervallum fölosztásának az a=t₀<t₁<t₂<...<t_n=b sorozatot; persze arra gondolunk, hogy a görbét osztjuk fel n pici szakaszra. A fölosztás finomsága $\delta=\min_{1\leq i\leq n} {\operatorname{diam}(\gamma([t_{i-1},t_i]))}$ , vagyis a pici ívek átmérői közül a legnagyobb. A "beírt töröttvonal" hosszán a $\sum_{i=1}^n {d(\gamma(t_{i-1},t_i))}$ összeget értjük.

Azt mondjuk, hogy a görbe rektifikálható, és ívhossza a véges L szám, ha igaz, hogy a beírt töröttvonalak hossza L-hez tart, mikor a fölosztás finomsága a 0-hoz. Ilyenkor az L egyben a beírt töröttvonalak hosszának supremuma is.

Ha $\gamma:[a,b]\to \mathbb R^n$ folytonosan differenciálható ( $C 1$ ) leképezés, akkor γ ívhossza $l(\gamma)=\int_a^b {|\gamma'(t)| dt}$ ; ennek egy átfogalmazása a fizikában az a tény, hogy az út a sebességnek az idő szerinti integrálja.

[szerkesztés] Érintő

Természetes és egyszerű módon a differenciálható (paraméterezett) görbéknek tudjuk definiálni az érintőjét. Ha a γ(t) görbepontban a γ'(t) derivált nem nulla, akkor a γ(t)-n átmenő, γ'(t)-vel egyirányú egyenest nevezzük a görbe érintőjének. Két görbe érinti egymást egy pontban, ha közös az érintő egyenesük.