Krzywa
Z Wikipedii
|
Krzywa – pojęcie matematyczne, jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, geometria różniczkowa stosowane również w mowie potocznej.
[edytuj] Intuicyjne wymagania
Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Od poprawnej definicji wymaga się, aby była to „dowolna linia” na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta, która w szczególności mogła by rozgałęziać się i przerywać.
[edytuj] Definicja formalna
Krzywą nazywamy continuum o wymiarze 1, czyli continuum w którym każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu.
Nieco mniej ściśle krzywa na płaszczyźnie to figura płaska o tej własności, iż dowolny okrąg nakreślony wokół dowolnego jej punktu przetnie się z nią jedynie w skończonej liczbie punktów.
Definicja ta jest przyjmowana dla dowolnej przestrzeni topologicznej.
[edytuj] Wcześniejsze definicje
Podana wyżej definicja pochodzi z lat 20. XX wieku, jednak krzywą próbowano zdefiniować już od starożytności:
- Euklides określał ją jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
- Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje wszystkich przypadków.
- Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów
, gdzie 
i ψ są funkcjami ciągłymi, zaś t jest parametrem przebiegającym przedział liczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa Jordana jest to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890 roku Giuseppe Peano pokazał, że do tej definicji pasuje również kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peano). - Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcje i ψ, na przykład dla funkcji różniczkowalnych dostajemy łuk regularny, a dla przedziałami liniowych - linię łamaną.
- Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.
z dołączonym odcinkiem 
.
- Georg Cantor pod koniec XIX wieku podał następującą definicję: krzywa to takie continuum na płaszczyźnie, że w każdym otoczeniu każdego jej punktu znajduje się punkt płaszczyzny nie należący do tego continuum.
- W końcu w latach 20. XX wieku rosyjski matematyk Paweł Urysohn sformułował definicję podaną na początku artykułu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna definicji podanej przez Cantora.
