142857
Z Wikipedii
142857 jest to liczba kolista. Jest to bardzo ciekawa liczba z uwagi na jej właściwości. Stanowi ona okres z dzielenia 1 przez 7 lub 1/7 część liczby 999999
Jeśli pomnoży się ją przez kolejno przez liczby 1, 2,3, 4, 5 i 6 to otrzymamy:
- 1 × 142857 = 142857
- 2 × 142857 = 285714
- 3 × 142857 = 428571
- 4 × 142857 = 571428
- 5 × 142857 = 714285
- 6 × 142857 = 857142
Żeby ułatwić dostrzeżenie właściwości tej liczby możemy je inaczej poustawiać:
- 1 × 142857 = 1 4 2 8 5 7
- 5 × 142857 = 7 1 4 2 8 5
- 4 × 142857 = 5 7 1 4 2 8
- 6 × 142857 = 8 5 7 1 4 2
- 2 × 142857 = 2 8 5 7 1 4
- 3 × 142857 = 4 2 8 5 7 1
Jeśli liczbę 142857 pomnożymy przez 7 to otrzymamy liczbę 999999
Można także zaobserwować wiele zależności przy mnożeniu przez wyższe liczby:
Mnożąc przez liczby podzielne przez 7 otrzymujemy wyniki, w których jeśli zredukujemy tyle cyfr z przodu i dodamy je na końcu, tak aby została nam liczba składająca się z 6 cyfr, to okaże się, że zawsze wyjdzie nam liczba 999999. Iloczyn zaczyna się od krotności liczby 7.
- Przykłady:
- 142857 × 14 = 1 999998 ||| 999998 + 1 = 999999
- 142857 × 21 = 2 999997 ||| 999997 + 2 = 999999
- 142857 × 28 = 3 999996 ||| 999996 + 3 = 999999
- 142857 × 35 = 4 999995 ||| 999995 + 4 = 999999
- 142857 × 42 = 5 999994 ||| 999994 + 5 = 999999
-
-
-
- ..............
-
-
-
- 142857 × 749 = 106999893 ||| 999893 + 106 = 999999
-
-
-
- ..............
-
-
-
Jeśli jednak liczba, którą otrzymamy będzie ponad 12 cyfrowa, to przekształcić ją można stopniowo:
- 142857 × 70000049 = 9999996 999993 ||| 999 993 + 9 999 996 = 10 999989 ||| 999989 + 10 = 999999
Mnożąc przez liczby nie podzielne przez 7 poprzez przekształcanie analogiczne jak wyżej, dochodzimy do stanu, w którym mamy jedną z form naszej liczby kolistej.
- Przykłady:
- 142857 × 8 = 1 142 856 ||| 142 856 + 1 = 142857
- 142857 × 81 = 11 571417 ||| 571417 + 11 = 571428
- 142857 × 142857 = 20 408 122 449 ||| 122 449 + 20 408 = 142857
Jeśli podzielimy 142857 przez 2 lub 5 to otrzymamy 2 różne formy tej liczby kolistej, z przecinkiem między ostatnią liczbą:
- 142 857 ÷ 2 = 71 428.5
- 142 857 ÷ 5 = 28 571.4
Wynika to oczywiście z tego, że jest to zwykłe mnożenie w pierwszym przypadku razy 5 i dzielenie przez 10 i w drugim mnożenie razy 2 i dzielenie przez 10.
Jeśli podniesiemy do kwadratu liczbę składającą się z trzech ostatnich cyfr i odejmiemy od niej kwadrat liczby składającej się z trzech pierwszych liczb to także otrzymamy jedną z form liczby kolistej:
- 8572 - 1422 = 734449 - 20164 = 714285
Okres z dzielenia całości (dodatnich, mniejszych niż 7) przez 7 także stanowi tą liczbę kolistą:
1/7 = 0. 142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857 (142857)
- 2/7 = 0. 285714 285714 285714 285714 (285714)
- 3/7 = 0. 428571 428571 428571 428571 (428571)
- 4/7 = 0. 571428 571428 571428 571428 (571428)
- 5/7 = 0. 714285 714285 714285 714285 (714285)
- 6/7 = 0. 857142 857142 857142 857142 (857142)
