Dzielnik normalny

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Dzielnik normalny (podgrupa normalna, niezmiennicza) – podgrupa pewnej grupy umożliwiająca badanie struktury całej grupy poprzez grupy ilorazowe bez skupiania się na dobrze znanej podgrupie (dzielniku normalnym, który zostaje „zwinięty” do elementu neutralnego).

[edytuj] Definicja

Niech $(G, \cdot)$ będzie grupą, zaś $H \le G$ jej podgrupą. Podgrupę $H$ nazywamy podgrupą normalną grupy G, jeśli warstwy lewo- i prawostronne podgrupy $H$ wyznaczane przez każdy jeden element grupy $G$ są sobie równe:

$\forall_{g \in G}\; gH = Hg$ .

Fakt, że $H \le G$ jest podgrupą normalną w $G$ oznacza się $H \triangleleft G$ . Zbiór wszystkich podgrup normalnych grupy $G$ oznaczamy $\operatorname{NSub}\; G$ . Dla ustalonej podgrupy $H \le G$ symbolem $\operatorname{NSub}_H\;G$ oznacza się zbiór wszystkich podgrup normalnych grupy $G$ zawierających podgrupę $H$ .

[edytuj] Uwaga

Oczywiście $\mathrm 1 \triangleleft G$ oraz $G \triangleleft G$ , te podgrupy normalne nazywamy dzielnikami trywialnymi. Grupę, która nie ma właściwych (posiada wyłącznie trywialne) dzielników normalnych nazywamy grupą prostą.

[edytuj] Stwierdzenie

Następujące zdania są równoważne:

$H$ jest podgrupą normalną w $G$ ,
$\forall_{g \in G}\; gH = Hg$ ,
$\forall_{g \in G}\; gHg^{-1} = H$ ,
$\forall_{g \in G}\; g^{-1}Hg = H$ ,
$\forall_{g \in G}\;\forall_{h \in H}\; g^{-1}hg \in H$ ,
$\forall_{g \in G}\;\forall_{h \in H}\; ghg^{-1} \in H$ .

[edytuj] Spostrzeżenie

Z definicji normalizatora oraz twierdzenia o izomorfizmie wynika, że jeśli $H \triangleleft G$ , to $H = \ker \alpha$ jest jądrem pewnego homomorfizmu $α$ .

[edytuj] Wnioski

Jeśli $G$ jest przemienna, to każda podgrupa $H \le G$ jest normalna.
Jeżeli $| G : H | = 2$ , to $H$ jest podgrupą normalną w $G$ (istnieją wyłącznie dwie warstwy lewostronne jak i prawostronne: izomorficzne z $H$ oraz z $G \setminus H$ , stąd $eH = He \simeq H$ , co oznacza, że $H$ jest normalna).