Twierdzenie Hahna-Banacha

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni dualnej.

Spis treści

1 Twierdzenie
- 1.1 Sformułowanie
- 1.2 Uwagi o dowodzie
2 Wnioski
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Sformułowanie

Przypuśćmy, że

(a)

X

jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ ,

(b) $p:X\longrightarrow {\mathbb R}$ jest funkcjonałem podaddytywnym, tzn

$\big(\forall x,y\in X\big)\big(p(x+y)\leq p(x)+p(y)\big)$ oraz

$\big(\forall\alpha\geq 0\big)(\forall x\in X\big)\big(p(\alpha x)=\alpha p(x)\big)$ ,

X

(d) $\varphi :M \to {\mathbb R}$ jest odwzorowaniem liniowym takim, że $\varphi(x)\leq p(x)$ dla wszystkich $x\in M$ .

Wówczas istnieje funkcjonał liniowy $\Phi :X\to{\mathbb R}$ taki, że $\Phi\upharpoonright M=\varphi$ oraz $\Phi(x)\leq p(x)$ dla wszystkich $x\in X$ .

[edytuj] Uwagi o dowodzie

Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 były właśnie indukcyjne).
Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego^[1], więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

[edytuj] Wnioski

Niech ${\bold K}$ będzie ciałem liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ lub ciałem liczb zespolonych ${\mathbb C}$ .

Przypuśćmy, że

(a)

X

jest przestrzenią liniową nad ${\bold K}$ , a $\rho:X\longrightarrow [0,\infty)$ jest seminormą,

(b) $M\subseteq X$ jest podprzestrzenią liniową, oraz $\varphi :M \to {\bold K}$ jest funkcjonałem liniowym takim, że $|\varphi(x)|\leq\rho(x)$ dla wszystkich $x\in M$ .

Wówczas istnieje funkcjonał liniowy $\Phi :X\to{\bold K}$ taki, że $\Phi\upharpoonright M=\varphi$ oraz $|\Phi(x)|\leq \rho(x)$ dla wszystkich $x\in X$ .

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej podprzestrzenią (niekoniecznie domkniętą), oraz $\varphi:M\longrightarrow {\bold K}$ jest ograniczonym funkcjonałem liniowym, to $\varphi$ może być przedłużone do ograniczonego funkcjonału liniowego $\Phi\in X^*$ takiego że $\|\Phi\|=\|\varphi\|$ .

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną i $x\in X$ , to

$\|x\|=\sup\big(\big\{|\varphi(x)|:\varphi\in X^*\ \wedge\ \|\varphi\|\leq 1\big\}\big)$

i kres górny jest osiągnięty (tzn $\|x\|=|\varphi(x)|$ dla pewnego $\varphi\in X^*$ o normie $\|\varphi\|\leq 1$ ).

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej liniową podprzestrzenią domkniętą i $x\in X\setminus M$ , to istnieje funkcjonał liniowy $\varphi\in X^*$ taki że $f (x) = 1$ , $\varphi\upharpoonright M\equiv 0$ oraz $\|\varphi\|=1/{\rm dist}(x,M)$ .