Права (линија)

Из пројекта Википедија

Права линија (или права) је један од основних геометријских појмова, чија се индиректна (посредна) дефиниција даје у аксиоматској изградњи курса геометрије. Права линија Еуклидове равни се може дефинисати као геометријско место тачака чије Декартове координате (или афине) задовољавају једначину: $a x + b y + c = 0$ , где бројеви $a, b, c$ нису истовремено сви једнаки нули.

Немачки научник Г. Лајбниц је праву линију дефинисао као линију која дели раван на два конгруентна дела, међутим под ову дефиницију потпадају и друге линије - на пример, синусоида и свака правилна изломљена линија чија су свака два сегмента на прескок - паралелна.

Садржај

1 Аналитичке дефиниције
2 Античке дефиниције
- 2.1 Еуклидови Елементи, књига I
- 2.2 Архимед, О лопти и ваљку, књига I
3 Права у три и вишедимензионалном простору
4 Права и тачка у простору димензије 3 или веће
- 4.1 Растојање тачке од праве
- 4.2 Растојање тачке од праве у R³
5 Две праве у простору димензије 3 или веће

[уреди] Аналитичке дефиниције

Приказ праве линије у координатном систему

Права се у правоугаоном координатном систему може задати на један од три начина:

Помоћу одсечка b на ординати и угла $α$ који гради права са позитивним правцем апсцисе.

Једначина праве је $y = mx+b\,$ , где је $m=\tan \alpha \,$ и често се зове општа једначина праве. Обично се код овакве једначине

m

зове коефицијент правца, а

b

је одсечак ординате.

Помоћу одсечака b и c које права одсеца на координатним осама.

Једначина праве где је $\frac{y}{b}+\frac{x}{c} = 1$ се зове сегментска.

Помоћу њеног одстојања до координатног почетка p и угла $ω$ који гради то одстојање са позитивном страном апсцисе.

Нормална једначина праве се зове једначина облика $y \sin \omega + x \cos \omega - p = 0\,$

[уреди] Античке дефиниције

[уреди] Еуклидови Елементи, књига I

Дефиниција 2: Линија је дужина без ширине
Дефиниција 3: Крајеви линије су тачке
Дефиниција 4: Права линија је она, која за тачке на њој подједнако лежи

[уреди] Архимед, О лопти и ваљку, књига I

Аксиома 1: Од свих линија са истим крајевима права линија је најмања

[уреди] Права у три и вишедимензионалном простору

Права у простору $R n$ се дефинише као скуп тачака (уређених n-торки) $a = (a_1,\dots,a_n)$ које задовољавају једначину:

$a = P + \lambda \overrightarrow{v}$ , где су:

$P = (p_1,\dots,p_n) \in R^n$ - произвољна тачка праве.
$\overrightarrow{v} = (v_1,\dots,v_n) \in R^n$ - вектор који означава правац праве. Може се представити и као векотор између било које две произвољне али различите тачке праве. Ако тачке нису различите, овај вектор ће бити нула-вектор, што ће значити да је $a$ у ствари само тачка $P$ .
$\lambda \in R$ - параметар.

Параметарска једначина праве би изгледала овако:

$a_1 = p_1 + \lambda v_1 \; ; \; a_2 = p_2 + \lambda v_2 \; ; \; \dots \; ; \; a_n = p_n + \lambda v_n$

Ако се параметар λ елиминише, добијају се канонске једначине праве:

$\frac{a_1 - p_1}{v_1} = \frac{a_2 - p_2}{v_2} = \dots = \frac{a_n - p_n}{v_n}$

[уреди] Права и тачка у простору димензије 3 или веће

Рецимо да су дате једна тачка P и једна права a = A + αv при чему $P,A,\overrightarrow{v} \in R^n \; , \; \alpha \in R$ . Могући положаји међу њима су:

Тачка је ван праве, тј. не постоји α за које је P = A + αv
Тачка је на правој, тј. постоји α за које је P = A + αv

[уреди] Растојање тачке од праве

Растојање тачке од праве се представља као дужина најкраћег пута од тачке до праве. Корисна је чињеница да је дужина овог пута једнака растојању између тачке P и њене пројекције P', на a. Ова тачка се налази преко чињеница да тачка P' припада правој и да је вектор PP' нормалан на вектор праве v.

$P' = A + α v$
$\overrightarrow{PP'} \cdot v = 0$ (в. скаларни производ)

Одавде се да одредити вредност α и тада је P' = A+ αv. Растојање праве од тачке ће бити једнако растојању P од P' илити интензитету векторра PP' то јест $d (P, a) = | P P' |$ . Уколико је вредност овог израза нула, то је још један начин за показивање да се тачка P налази на правој a.

[уреди] Растојање тачке од праве у R³

Специјално у $R 3$ би важило:

$d(P,a) = \frac{| \overrightarrow{AP}\times v|}{|v|}$ (в. векторски производ и интензитет вектора).

[уреди] Две праве у простору димензије 3 или веће

Две праве a = A + αv и b = B + βu у $R n$ могу да заузимају следеће положаје, једна у односу на другу:

могу бити идентичне, ако $(A \in b \lor B \in a) \land v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}$ .
могу бити паралелне, ако $(A \notin b) \land v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}$
могу да се секу, уколико важи $v \ne ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}$ и једначина A + αv = B + βu има једнозначно решење по α и β. Тачка пресека I ће у овом случају бити I = A + αv = B + βu</math>
могу бити мимоилазне, уколико важи $v \ne ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}$ али једначина A + αv = B + βu} нема решења.

Специјално у $R 3$ се $v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}$ може заменити са $v \times u = 0$ .

[уреди] Растојање две паралелне праве

Растојање две паралелне праве се да одредити као растојање произвољне тачке P једне од две праве од њене пројекције P' на другу праву. Дакле рецимо да је P у ствари A од праве a. Сада се тражи њена пројекција $A' = B + k\overrightarrow{v}, k \in R\;\land\; AA' \bot v$ . Из ових услова се да наћи коефицијент k а са њиме је и A' одређено. Растојање између тачака A и A' ће бити једнако растојању међу паралелним правама a и b.

[уреди] Растојање две паралелне праве у R³

У тродимензионалном простору је овај поступак нешто лакши. Ако су две праве a и b са почетка поглавља паралелне, њихово растојање је једнако висини паралелограма кога граде вектори $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{v}$ . Она се да добити као количних површине овог паралелограма (интензитет векгорског производа) и интензитета вектора v.

$d(a,b) = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|}$

[уреди] Растојање две мимоилазне праве

Растојање две мимоилазне праве је у ствари минимално растојање између тачака које их чине. Један од начина да се оно нађе је да се представи вектор између њих, и потом нађе за које параметре правих ће његова величина бити минимална. Назовимо овај вектор w, и опште тачке правих a и b именима P и Q. Оне ће бити:

$P = A + \alpha v = (A_1+\alpha v_1, A_2+\alpha v_2,...,A_n+ \alpha v_n), \alpha \in R$ $Q = B + \beta u, \beta \in R$

Интензитет вектора $\overrightarrow{AB}$ ће бити $|\overrightarrow{AB}| = f(\alpha,\beta) = \sqrt{(A_1+\alpha v_1- B_1-\beta u_1)^2 + \dots + (A_n+\alpha v_n- B_n-\beta u_n)^2 }$ . Како корен не утиче на вредност коју параметри α и β имају при максималној вредности израза, корен се овде може избацити. Следећи корак би било тражење првих извода израза $f (α,β)$ по α и по β. Тако ће се добити систем од две једначине са две непознате, α и β, који се да решити.

$\begin{cases} f(\alpha,\beta)'_\alpha \\ f(\alpha,\beta)'_\beta \end{cases}$

Када се одавде добијене вредности α и β врате у једначине правих a и b, респективно, резултирајуће координате ће представљати тачке, назовимо их $P 0$ и $Q 0$ , чије растојање је минимално растојање између ове две праве.

$d (a, b) = d (P 0, Q 0)$ .

[уреди] Растојање две мимоилазне праве у R³

Специјално у случају $R 3$ је ситуација једноставнија и да се решити преко мешовитог производа. Ако су две праве са почетка поглавља, a и b, мимоилазне, онда ће важити $|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}]| \ne 0$ , јер је то заправо запремина паралелопипеда које чине ова два вектора праве и вектор између њихове две произвољне тачке. Како је векторски производ $|u\times v|$ површина основе овог паралелопипеда, а његова висина управо минимално растојање међу мимоилазним правама, може се рећи да је минимално растојање међу мимоилазним правама у $R 3$ :

$d(a,b) = \frac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}]|}{|u\times v|}$