ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (Fermat's last theorem) เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โด่งดังในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ซึ่งกล่าวว่า:

ไม่มีจำนวนเต็มบวก x, y, และ z ที่ทำให้  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2

ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat) นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ได้เขียนทฤษฎีบทนี้ลงในหน้ากระดาษหนังสือ Arithmetica ของดิโอแฟนตัส ฉบับแปลเป็นภาษาละตินโดย Claude-Gaspar Bachet เขาเขียนว่า "ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่พื้นที่กระดาษเหลือน้อยเกินไปที่จะอธิบายได้" (เขียนเป็นภาษาละตินว่า "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.") อย่างไรก็ตาม ตลอดระยะเวลา 357 ปี ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ถูกต้องเลย

ข้อความนี้มีความสำคัญมาก เพราะว่าข้อความอื่นๆที่แฟร์มาต์เขียนนั้น ได้รับการพิสูจน์หมดแล้ว ไม่ว่าจะพิสูจน์ด้วยตัวเขาเอง หรือว่ามีคนให้บทพิสูจน์ในภายหลัง ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้เป็นข้อความคาดการณ์สุดท้ายที่แฟร์มาต์เขียน แต่เป็น ข้อสุดท้ายที่จะต้องพิสูจน์ นักคณิตศาสตร์ได้พยายามพิสูจน์หรือไม่ก็หักล้างทฤษฎีบทนี้มาโดยตลอด และต้องพบกับความล้มเหลวทุกครั้งไป ทำให้ทฤษฎีนี้เป็นทฤษฎีที่สร้างบทพิสูจน์ที่ผิด ๆ มากที่สุดในวงการคณิตศาสตร์ก็ว่าได้ อาจเป็นเพราะทฤษฎีบทนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายนั่นเอง

[แก้] บริบททางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เป็นรูปแบบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์ a² + b² = c² (สมการที่ตัวแปรเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น) ชาวจีน ชาวกรีก และชาวบาบิโลเนียนได้ค้นพบคำตอบของสมการนี้หลายคำตอบเช่น (3,4,5) (3² + 4² = 5²) หรือ (5,12,13) เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (Pythagorean triples) และมีอยู่จำนวนไม่จำกัด ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ กล่าวว่า สมการนี้จะไม่มีคำตอบเมื่อเลขยกกำลังมากกว่า 2

ทฤษฎีนี้ไม่ค่อยถูกนำไปใช้ประโยชน์มากนัก (ไม่ได้ถูกนำไปใช้พิสูจน์ทฤษฎีอื่น) แต่มันก็เชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ หลายสาขา และมันก็ไม่เป็นความพยายามที่ไร้สาระเสียทีเดียว การพยายามพิสูจน์ทฤษฎีนี้ก่อให้เกิดคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ ที่สำคัญอีกมากมาย

[แก้] ประวัติในยุคแรก ๆ

เราอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในกรณีที่ n=4 และกรณีที่ n เป็นจำนวนเฉพาะ ก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับทุกค่า n.

แฟร์มาต์ได้พิสูจน์กรณี n=4, ออยเลอร์ พิสูจน์กรณี n=3, Dirichlet และ Legendre พิสูจน์กรณี n=5 เมื่อ ค.ศ. 1828, Gabriel Lamé พิสูจน์กรณี n=7 เมื่อ ค.ศ. 1839

ใน ค.ศ. 1983 Gerd Faltings ได้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของ Mordell สำเร็จ ซึ่งกล่าวว่าสำหรับ n > 2 จะมีจำนวนเต็ม a, b และ c ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ aⁿ + bⁿ = cⁿ อยู่จำนวนจำกัด

[แก้] บทพิสูจน์

แอนดรูว์ ไวลส์ (Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจากมหาวิทยาลัย Princeton ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ โดยใช้เครื่องมือในการพิสูจน์คือ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (ในเรื่องเส้นโค้งเชิงวงรี และ รูปแบบมอดุลาร์), ทฤษฎีกาโลอิส และ พีชคณิต Hecke โดยได้รับความช่วยเหลือจาก ริชาร์ด เทย์เลอร์ (Richard Taylor) ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของเขาเอง บทพิสูจน์ของเขาได้ตีพิมพ์ลงในวารสาร Annals of Mathematics เมื่อ ค.ศ. 1995

ไวลส์ใช้เวลา 7 ปีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เขาทำการพิสูจน์โดยลำพัง และเก็บเรื่องนี้เป็นความลับมาโดยตลอด (ยกเว้น ตอน review ครั้งสุดท้าย ซึ่งเขาได้ขอความช่วยเหลือจากเพื่อนของเขาที่ชื่อ Nick Katz) ในวันที่ 21-23 มิถุนายน ค.ศ. 1993 เขาก็ได้แสดงบทพิสูจน์ของเขาที่มหาวิทยาลัยแคมบริดจ์ ผู้เข้าฟังการบรรยายครั้งนั้นต่างก็ประหลาดใจไปกับวิธีการต่าง ๆ ในบทพิสูจน์ของเขา ต่อมา เขาก็พบข้อผิดพลาดในบทพิสูจน์ แต่ไวลส์และเทย์เลอร์ยังไม่ละทิ้งความพยายาม เขาใช้เวลาอยู่หนึ่งปีในการแก้ไข และในเดือนกันยายน ค.ศ. 1994 เขาก็ได้เสนอบทพิสูจน์ใหม่อีกครั้งโดยใช้วิธีการที่แตกต่างไปจากเดิม เรื่องการพิสูจน์นี้จึงเป็นเรื่องที่น่าจดจำเลยทีเดียว

[แก้] แฟร์มาต์มีบทพิสูจน์จริงหรือ?

หนังสือ Arithmetica เมื่อ ค.ศ. 1621 ด้านขวาคือที่ว่างที่แฟร์มาต์กล่าวว่ามีพื้นที่น้อยเกินไป

นี่คือข้อความที่แฟร์มาต์เขียนไว้บนหน้ากระดาษหนังสือ Arithmetica:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos,
et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem
nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
Hanc marginis exigitas non caperet.

(เป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งจำนวนที่ยกกำลัง 3 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลัง 3 สองจำนวน
หรือแบ่งจำนวนที่ยกกำลัง 4 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลัง 4 สองจำนวน หรือกล่าวโดยทั่วไปว่า
ไม่สามารถแบ่งจำนวนที่ยกกำลังมากกว่า 2 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลังเท่าเดิมสองจำนวนได้
ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่พื้นที่กระดาษเหลือน้อยเกินไปที่จะอธิบายได้)

หลายคนต่างสงสัยใน "บทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์" ของแฟร์มาต์ว่ามันมีอยู่จริงหรือไม่ บทพิสูจน์ของไวลส์นั้น หนาประมาณ 200 หน้า และยากเกินกว่าที่นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันจะเข้าใจ เป็นไปได้ว่าอาจจะมีบทพิสูจน์ที่สั้นกว่า และใช้วิธีที่พื้นฐานมากกว่านี้ ซึ่งสถาบันคณิตศาสตร์ต่าง ๆ มักจะได้รับบทพิสูจน์ที่ผู้คนส่งเข้ามาเสมอ ๆ และมันก็ดึงดูดความสนใจไม่น้อยทีเดียว

อย่างไรก็ตาม ไวลส์ เคยให้สัมภาษณ์ไว้ว่าเขาไม่เชื่อว่าแฟร์มาต์จะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง

I don’t believe Fermat had a proof.
I think he fooled himself into thinking he had a proof. But what has made
this problem special for amateurs is that there’s a tiny possibility that
there does exist an elegant seventeenth century proof.

(ผมไม่เชื่อว่าแฟร์มาต์จะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง. ผมคิดว่าบทพิสูจน์ของเขา (ถ้ามีจริง)
น่าจะเป็นบทพิสูจน์ที่มีข้อผิดพลาด. อย่างไรก็ตามคำกล่าวอ้างของแฟร์มาต์นี้ก็ได้ให้ความหวังแก่
นักคณิตศาสตร์สมัครเล่นทั่ว ๆ ไปว่าพวกเขายังมีโอกาสที่จะค้นพบเจอบทพิสูจน์อันสวยงามได้
โดยใช้เพียงคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 17.)

อย่างไรก็ตามความผิดพลาดเป็นเรื่องธรรมดาของมนุษย์ ดังเคยมีตัวอย่างมากมายของนักคณิตศาสตร์หรือนักวิทยาศาสตร์ชื่อดังที่ได้มีความเชื่อที่ผิดพลาดหลายท่าน ดังเช่น ไอน์สไตน์ครั้งหนึ่งก็ยังให้ข้อสรุปที่ผิดพลาดเกี่ยวกับการขยายตัวของจักรวาล เพราะฉะนั้นจึงไม่น่าจะแปลกใจอะไรถ้าแฟร์มาต์จะเข้าใจผิดว่าเขามีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง.