Поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Цей термін має також інші значення

По́ле (в алгебрі) — це множина, на якій визначені дві бінарні операції, додавання і множення, які мають алгебраїчні властивості звичайних додавання і множення раціональних або дійсних чисел. Поняття поля було впроваджено Еваристом Галуа для дослідження розв'язків алгебраїчних рівняннь вищого степеня. У сучасній математиці поруч з класичними числови системами, які утворюють поле, як от раціональними, дійсними та комплексними числами, розглядаються також і скінчені поля, що відіграють провідну роль у застосуваннях, зокрема, до комп'ютерних наук, криптографії та теорії кодування.

[ред.] Формальне означення

Поле — це комутативне кільце $K$ , у якому кожний ненульовий елемент $a\ne 0$ має обернений $a^{-1}\in K$ . Якщо підмножина $K$ поля $L$ сама утворює поле відносно операцій в $L$ (з тими самими $0,1$ ), то $K$ називається підполем $L,$ а $L$ — розширенням поля $K$ .

[ред.] Приклади

1. Раціональні числа $\mathbb{Q}$ , дійсні числа $\mathbb{R}$ та комплексні числа $\mathbb{C}$ утворюють поле:

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}.$

Так само, множина всіх алгебраїчних чисел замкнена відносно алгебраїчних операцій, а тому утворює поле, яке містить $\mathbb{Q}$ і міститься в $\mathbb{C}.$

2. Якщо $p$ — просте число, то кільце залишків $(\operatorname{mod}\, p)$ — це скінчене поле, яке позначається

$GF(p)=\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$

Таким чином, отримуємо поле з $p$ елементів, поле Галуа порядка $p$ , назване так на честь Е.Галуа, який першим розглянув скінчені поля.

3. Мероморфні функції $f (z)$ на одиничному диску $D = {z : | z | < 1}$ , з операціями поточкого додавання і множення, утворюють поле.

Подальші приклади див. у статті Теорія полей.

[ред.] Зауваження

1. На відміну від раціональних чисел, цілі числа $\mathbb{Z}$ поле НЕ утворюють, тому що, наприклад, $2$ не має оберненого в $\mathbb{Z}$ .

2. Для кожного натурального $n\in\mathbb{N}$ існує єдине (не враховиваючи ізоморфізмів) поле Галуа $GF(p^n)=\mathbb{F}_{p^n},$ що складається з $p n$ елементів, але для $n\geq 2$ це поле НЕ дорівнює кільцю залишків $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.$ Насправді, $p\cdot p^{n-1}=0(\!\!\!\!\!\mod p^n)$ , тому $p\ne 0$ не має оберненого в $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.$

[ред.] Термінологія

Характеристика поля $K,$ що позначається $c h a r K$ — це найменьше натуральне число $n,$ для якого сума $1+1+\ldots+1$ ( $n$ доданків) дорівнює $0,$ або нуль, якщо такого числа не існує. Підкреслимо, що в наведеному означенні $0$ та $1$ позначають "абстрактні" нуль та одиницю поля $K,$ тобто нейтральні елементи операцій додавання та множення в цьому полі, а не звичайні цілі нуль та одиницю. У прикладах з попереднього розділу, поля раціональних, дійсних та комплексних чисел і поле мероморфних функцій мають характеристику нуль, у той час як будь-яке скінчене поле з $q = p n$ елементів, де $p$ — просте число, має характеристику $p > 0.$ Взагалі, у довільному полі $K$ існує єдине найменьше, так.зв. просте, підполе. Це або поле раціональних чисел $\mathbb{Q},$ якщо $c h a r K = 0,$ або поле $G F (p)$ з $p$ елементів, якщо $c h a r K = p .$ Зокрема, для будь-якого розширення полей $K\subseteq L$ характеристики $K$ і $L$ збігаються. Поля додатної характеристики мають незвичайні властивості, які істотно відрізняють їх від полей характеристики нуль.

Поле $K$ — алгебраїчно замкнене, якщо будь-який поліном з коефіцієнтами в $K$ має принаймні один корінь в $K .$ За основною теоремою алгебри, поле $\mathbb{C}$ комплексних чисел є алгебраїчно замкнененим, на відміну від полей раціональних чисел $\mathbb{Q}$ або скінчених полей.

[ред.] Конструкції полей

Припустимо, що комутативне кільце з одиницею $R$ не має дільників нуля, тобто для будь-яких $a,b\in R$ з $a b = 0$ випливає $a = 0$ або $b = 0.$ Тоді існує єдине найменьше поле $Q (R),$ яке містить в собі $R .$ Це поле називається полем часток кільця $R$ і може бути утворено наступним чином, який узагальнює перехід від кільця цілих чисел $\mathbb{Z}$ до поля раціональних чисел $\mathbb{Q}.$ Спочатку розглядається множина всіх формальних виразів вигляду $\frac{a}{b},$ де $a,b\in R, b\ne 0.$ Ці вирази додаються і множаться на зразок звичайних дробів:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}, \quad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$

Два вирази називаються еквівалентними, $\frac{a}{b}\sim\frac{a'}{b'},$ якщо $a b' = a' b .$ Тоді поле часток $Q (R)$ — це множина класів еквівалентності виразів, з означенними вище операціями. Можна довести, що утворена таким чином структура — це комутативне кільце, де роль нуля та одиниці відіграють класи еквівалентності $\frac{0}{1},\frac{1}{1},$ і класи еквівалентності виразів $\frac{a}{1}$ замкненені відносно додавання і множення і утворюють кільце ізоморфне $R$ (для цього потрібно переконатися, що з $\frac{a}{1}\sim\frac{a'}{1}$ випливає $a = a',$ а це спроваджується завдяки відсутності дільників нуля у $R$ ). До того ж, будь-який ненульовий клас еквівалентності $\frac{a}{b} (a,b\ne 0)$ має обернений $\frac{b}{a}=\left(\frac{a}{b}\right)^{-1},$ тому ми одержуємо поле.

Якщо застосувати цю конструкцію до кільця поліномів $\mathbb{K}[x],$ то одержимо поле раціональних функцій $\mathbb{K}(x)=Q(\mathbb{K}[x]).$

Ця стаття в процесі редагування на короткий час.

Будь ласка, не редагуйте та не змінюйте її, оскільки Ваші зміни можуть бути втрачені.

Якщо ця сторінка не редагувалася недавно (кілька годин!), будь ласка приберіть цей шаблон.

Це повідомлення призначено до допомоги скорочення конфліктів редагування; будь ласка приберіть його між сесіями редагування, щоб дати іншим користувачам можливість поліпшити цю сторінку.

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../%D0%BF/%D0%BE/%D0%BB/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5.html

Категорії: Статті в процесі редагування | Математика | Алгебра