Граница (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: разширяване, подобряване. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Граница в математиката може да бъде граница на числова редица или граница на функция.

[редактиране] Граница на числова редица

Граница на дадена числова редица е стойността, към която клонят нейните членовете, когато индексът им клони към безкрайност, ако такава стойност съществува. Например границата на редицата

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...$ е 0, а редицата

$1, - 1,1,...,( - 1) n - 1,...$ няма граница.

[редактиране] Граница на функция

Граница на функция се нарича стойността, към която една функция клони, когато аргументът й клони към дадена стойност. Ако е дадена функцията $f (x)$ и ако аргументът $x$ клони към $x 0$ , границата се бележи с

$\lim_{\Delta x \rightarrow x_0}f(x)$ .

Функцията sin(x)/x

Границата се въвежда в математиката за да се охарактеризира поведението на функция в точки, в които тя не е дефинирана, в безкрайността или ако директното пресмятяне на стойността ѝ в тази точка води до неопределеност от типа $\frac{0}{0}$ . Например при директно пресмятяне на стойността на функцията

$\frac{\sin(x)}{x}$

за $x = 0$ води до резултат $\frac{0}{0}$ , който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойнсти на х, близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(x)=1$ .

Функцията tan(x)

В математиката се различават лява и дясна граница, в зависимост от това дали аргументът остава съответно по-малък или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се с

$\lim_{\Delta x \rightarrow x_0-}f(x)$ за лява граница и

$\lim_{\Delta x \rightarrow x_0+}f(x)$ за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни. Например лявата и дясната граница на функцията $tan(x)$ при х клонящо към 90° са съответно +∞ и -∞.

С помощта на границата се определят такива основни математически понятия като производна и интеграл.