Όριο (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

[Επεξεργασία] Όριο ακολουθίας

Όριο μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών λέγεται ένας πραγματικός, τέτοιος ώστε η απόστασή του από τους όρους της ακολουθίας να γίνεται τελικά οσοδήποτε μικρή. Δηλαδή αν $\{a_\nu\}_{\nu \in \N}$ είναι μία ακολουθία πραγματικών, τότε όριο της $\, a_\nu$ είναι το $a \in \R$ , αν και μόνο αν για οσοδήποτε μικρό ε > 0 και για όλα τα αρκετά μεγάλα ν ισχύει $|a_\nu -a| < \varepsilon$ . Συμβολικά:

$\lim_{\nu \to \infty}a_\nu\ = a \iff \forall \varepsilon >0 \;\; \exists n \in \N \;$ τέτοιο ώστε $\; \forall \nu>n\;$ ισχύει $\; |a_\nu -a| < \varepsilon.$

Αν μία ακολουθία έχει όριο, τότε η ακολουθία αυτή ονομάζεται συγκλίνουσα, στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται αποκλίνουσα.

Στη γενική περίπτωση ένος μετρικού χώρου Μ, και όχι συγκεκριμένα του $\R$ , ο ορισμός είναι αντίστοιχος και η απόσταση ορίζεται από τη μετρική του χώρου αυτού.

Δείτε ακόμα: Ακολουθία Cauchy

[Επεξεργασία] Όριο συνάρτησης

Γενικότερα για μία συνάρτηση η έννοια του ορίου μπορεί να οριστεί με βάση το όριο ακολουθίας. Δηλαδή, μία συνάρτηση f(x) έχει όριο το σημείο α, του x τείνοντος στο σημείο c, αν για οποιαδήποτε ακολουθία $x ν$ που έχει όριο το c, η ακολουθία $f (x ν)$ έχει όριο το α. Συμβολικά:

$\lim_{x \to c}f(x) = a \iff \forall$ ακολουθία $(x_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}}$ με $\lim_{\nu\to\infty}x_\nu=c$ ισχύει $\lim_{\nu\to\infty}f(x_\nu)=a$ .

O κλασσικός ορισμός του ορίου πραγματικής συνάρτησης είναι ο εξής: To όριο της $f (x)$ όταν το x τείνει στο c ειναι ίσο με α, ανν για κάθε ε θετικό υπάρχει δ θετικό, τέτοιο ώστε αν το x έχει απόσταση από το c μικρότερη του δ, τότε να συνεπάγεται ότι η απόσταση του f(x) από το α είναι μικρότερη του ε. Αν δηλαδή το x ανήκει σε μια περιοχή του c, τότε το f(x) ανήκει σε μια περιοχή του α και αυτό ισχύει όσοδηποτε μικρή και αν είναι η περιοχή του α που θα διαλέξουμε. Συμβολικά: