极限 (数学)

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在数学中，极限可以用来描述一个函数的性状：即其自变量愈来愈靠近某个特定值或愈来愈大的时候，函数的变化趋势；极限也可以用来描述一个序列的指标(index)愈来愈大时，序列元素的性态。极限是微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，如微分和连续的概念都是通过极限来定义的。

函数的极限这个概念可以更一般地推广到网(topological net)中，而序列的极限则与范畴论中的极限和有向极限(direct limit)的概念密切相关。

[编辑] 极限的基本知识

作为学习数学的学生，一般都在微积分的入门课程中最早接触到极限这个概念，大部分学生在理解和接受这个概念的时候都会遇到一些困难。在英文的wikibook中有一篇介绍极限的文章，可以作为入门的参考：[1]。这篇介绍文章包括了一些基本的概念，也介绍了极限在更高级的数学领域中的应用。

[编辑] 函数的极限：引子

主条目: 极限 (函数)

假设 $f (x)$ 是一个实函数， $C$ 是一个实数，那么

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

表示 $f (x)$ 可以任意地靠近 $L$ ，只要我们让 $x$ 充分靠近 $c$ 。此时，我们说当 $x$ 趋向 $c$ 时，函数 $f (x)$ 的极限是 $L$ 。值得特别指出的是，这个定义在 $f(c) \ne L$ 的时候同样是成立的。事实上，即使 $f (x)$ 在 $c$ 点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。

以下两个例子或许对理解这个概念有所帮助：

考虑函数 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ 在 $x$ 趋向 $2$ 的时候的性质，此时 $f (x)$ 在 $x = 2$ 这点是有定义的， $f (2) = 0.4$ 。

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	$\Rightarrow$ 0.4 $\Leftarrow$	0.3998	0.3988	0.3882

当 $x$ 趋向 $2$ 的时候，函数值趋向 $0.4$ ，因此我们有极限 $\lim_{x\to 2}f(x)=0.4$ 。在这种情况下，即函数在某一点的取值和当 $x$ 趋向这一点的极限值相同的时候，我们称 $f$ 在 $x = c$ 这一点是连续的。当然，这是相当特殊的情况。

考虑

$g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{if }x=2. \end{matrix}\right.$

那么当 $x$ 趋于 $2$ 的时候， $g (x)$ 的极限与前面的 $f (x)$ 相同，都是 $0.4$ 。但是请注意 $g(2) \ne 0.4$ ，这就是说， $g (x)$ 在 $x = 2$ 是不连续。

或者考虑这样一个例子，使得 $f (x)$ 在 $x = c$ 时没有定义：

$f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$

当 $x$ 趋于 $1$ 时， $f (x)$ 是没有定义的，但极限存在，即 $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ ：

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	$\Rightarrow$ undef $\Leftarrow$	2.001	2.010	2.10

在 $x \ne 1$ 的情况下， $x$ 可以任意靠近 $1$ ，从而 $f (x)$ 的极限为 $2$ 。

[编辑] 实变量实值函数在有限处的极限：形式定义

形式上讲，极限可以这样定义：

命 $f$ 是一个定义于包含 $c$ 的开区间（或此开区间剔除 $c$ ）上的实值函数，命 $L$ 是一个实数，那么

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

表示对于任意的 $\varepsilon\ >0$ ，都存在一个对应的 $\delta\ >0$ 使得：当 $x$ 满足 $0<|x-c|< \delta\$ 时总有 $| f (x)-L|< \varepsilon\$ 成立。

[编辑] 实变量实值函数在无穷远处的极限

与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为， $x$ 距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。因此，我们用 $x$ 越来越大（如果讨论正无穷时）来替代。

例如考虑 $f(x) = \frac{2x}{x + 1}$ .

$f (100) = 1.9802$
$f (1000) = 1.9980$
$f (10000) = 1.9998$

当 $x$ 非常大的时候， $f (x)$ 的值会趋于 $2$ 。事实上， $f (x)$ 与 $2$ 之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的 $x$ 就可以了。此时，我们称 $f (x)$ 趋向于（正）无穷时的极限是 $2$ 。可以写为

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2.$

形式上，我们可以这样定义：

$\lim_{x \to \infty} f(x) = c$

当且仅当对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $n$ 使得只要 $x > n$ ，总有 $|f(x) - c| < \varepsilon$ 。注意其中的 $n$ 可能是与 $\varepsilon$ 相关的。类似地，我们也可以定义 $\lim_{x \to -\infty} f(x)=c$ 。