Límit (matemàtega)

From Wikipedia

Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.

Nota: La pàgina la gh'a büsögn də mejurameent də cuntegnüü o də stiil:

curezziun urtugràfich; llindar--> söja

La noziun da límit l'è bèla-e-intuitiva, malgraa la suva formülaziun astrata. Per dànn una introdüzziun sémplis, a-parlaremm chí dumà dal cas di sequenz(i) da nümer reaal e da chel di funziun reaal a una variàbil reaal.

Cuntegnüü

1 Límit d'una sequenza

[redatá] Límit d'una sequenza

[redatá] Introdüzziun

I sequenz(i) a-inn i funziun cun dumini da definiziun $\N \,\!$ , u, di voeult $\Z \,\!$ (suratütt in analisa da Fourier). Chí a-tra(c)taremm dumà ul prim cas. Cunsideraa che ogni nümer inter l-è isulaa, là sa cunsídera nò l’idéa da límit da la sequenza: l'esist, da fatt, dumà la suva valur. Ind altri paroll, sa-poeu nò acustàss a $n\in\N$ per mezz da diferent punt in $N$ . Cunsideremm dunca dumà la noziun da límit per $n\to+\infty$ ; le cjamaremm -bell'e sémplis- « límit da la sequenza».

[redatá] Definiziun, cunvergenza, desvergenza

Cas dal límit finii $l\in\R\,\!$ : per ogni « descart da toleranza » $\epsilon > 0 \,\!$ al-esist un « nümer inter da cunfidenza » $N_0 \in \N \,\!$ tal che, per $n \,\!$ püssee graant che $N_0 \,\!$ , la valur $u_n \,\!$ l-è vesina a $l \,\!$ per manch da $\epsilon \,\!$ :

$n \geq N_0 \ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_n \leq l+\epsilon \,\!$

Sa-scriif alura $\lim (u_n) = l \,\!$ , e sa-dis che $(u_n) \,\!$ al-tend (u anca cunverg) a $l \,\!$ .

Una sequenza a(d)metent un límit finii l'è cjamada cunvergent. Al-var ul teorema seguent: Ogni sequenza convergent l'è limitada.

Cas dal límit infinii: destinguem düü cas:

A) $+\infty\,$ e B) $-\infty\,$ . Per ogni « llindar????? da toleranza » $M>0 \,\!$ al-cuventa che al sia pussíbil truvà un « nümer inter da cunfidenza » $N_0 \in \N \,\!$ a partí dal qual i valur da $\vert (u_n) \vert\,$ síen püssee grandi che $M \,\!$ e i $(u_n) \,$ se mantègnen positiif -int ul cas A)- e negatiif -int ul cas B)-:

- $n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\!$ per $\lim (u_n) = +\infty \,\!$
- $n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n \leq M \,\!$ per $\lim (u_n) = -\infty \,\!$ .

Al cuventa anca, int ul cas A) $n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n >0 \,\!$ e, int ul cas B) $n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n <0 \,\!$ .

Sa-dis alura che $(u_n) \,\!$ al-tend (u diverg) a: A) $+\infty \,\!$ , B) $-\infty \,\!$ .

NB: Sa-parla da sequenza convergent dumà quaand chela sequenza-lí l'a(d)met un límit finii, da sequenza divergent int i cas A) e B), da sequenza indeterminada in tücc i òlter cas.

NB: Sa-poeu anca parlà da límit $\infty \,\!$ quaand $\lim {1\over(u_n)} =0$ . Ches-chí al-resüm i cas A) e B) e, anca ben, ul cas $n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\!$ e però i $(u n)$ pòden cambià segn da manera arbitrària.

[redatá] Süb-sequenz(i)

Sa-parla da süb-sequenza, u da sequenza extracta, da la sequenza $(u_n) \,\!$ quaand sa-scerníssen "dumà di" element da $(u_n) \,\!$ : inscí sa-cunsídera dumà una part da l'informaziun. L'esempi ul püssee clàssic l-è chel di süb-sequenz(i) $(u_{2n}) \,\!$ di tèrmin da sitt pari, e $(u_{2n+1}) \,\!$ di tèrmin da sitt díspari. Püssee generalment, sa-designa cunt ul tèrmin « estrazziun » ogni aplicaziun $\phi \ : \ \N \rightarrow \N \,\!$ stregjament cressent. Alura una süb-sequenza l'è una sequenza da la forma $(u_{\phi(n)}) \,\!$ .

Una proprietaa important l'è che una sequenza $(u_n) \,\!$ a(d)met límit (finii u infinii) si e dumà si ogni süb-sequenza $(u_{\phi(n)}) \,\!$ a(d)met l'istess límit.

L'operaziun da passagg al límit l-è linear int ul sentüü seguent : si $x n$ e $y n$ a-inn di sequenz(i) reaal convergent, tal che $\lim_{n\to\infty}x_n=L$ e $\lim_{n\to\infty}y_n=P$ , alura anca la sequenza $x n + y n$ l'è convergent e la gh-ha per límit $L + P$ . Si $a$ l-è un nümer reaal, alura la sequenza $a\cdot x_n$ l’è convergent cun límit $a L$ . Inscí, ul conjunt??? C da tüti i sequenz(i) reaal convergent l-è un spazi vectorial reaal e l'operaziun da passagg al límit l-è una forma linear reaal sura C. Anca, la sequenza $x_n\cdot y_n$ l’è convergent cun límit LP. Dunca ul spazi ve(c)torial C l-è da fatt un'algebra reaal. Si P l-è nò 0, alura sa-poeu truvà $N\in{\mathbb N}$ tal che la sequenza $x_n+y_n,\quad n\geq N$ l'è ben definida e cunvergent cun límit $L / P$ .

Ogni sequenza cunvergeent l'è limitada, cunsideraa che tücc i tèrmin (salvaa un nümer finii), a-inn deent un interval intorn al límit. Si (x_n) l'è una sequenza da nümer reaal, limitada da sura e cresseent -u anca limitada da bass e decresseent-, alura l-è necessariament convergeent.

Ogni sequenza da Cauchy da nümer reaal l'è convergeent, u, püssee sémplis: ul conjunt??? di nümer reaal l-è cumplet.

[redatá] Esempi:

La sequenza (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) da nümer reaj l'è convergeent, cun límit 0.
La sequenza (3, 3, 3, 3, 3, ...) l’è convergeent cun límit 3.
La sequenza $n\mapsto u(n):= (-1)^{n}= (-1, 1, -1, 1, ...)$ l’è nò convergeent, però i soeu süb-sequenz(i) $n\mapsto u(2n)$ e $n\mapsto u(2n+1)$ sí.
La sequenza (1, -2, 3, -4, 5, ...) la gh-ha límit $\infty$ .
La sequenza (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) l'è convergeent, cun límit 1. Chesta sequenza-chí l'è un esempi da série geométrica.
Si a l-è un nümer reaal cun valur absolüda |a| < 1, alura la sequenza da tèrmin generaal aⁿ la gh-ha límit 0.
Si a >0, alura la sequenza da tèrmin generaal a^1/n la gh-ha límit istess che 1.
La sequenza $n\mapsto u(n):= (1+1/n)^{n}$ la-converg a e e, per ogni nümer reaal (da fatt cumpless) x, la sequenza $n\mapsto u(n):= (1+x/n)^{n}$ la-converg a $e x$ .

[redatá] Límit da funziun

Al cuventa descerní ul cas dal límit ind un punt reaal finii e chel dal límit a l'infinii ("positiif" u "negatiif").

[redatá] Límit d'una funziun ind un punt a

[redatá] Límit finii

Si $f\,\!$ l'è una funziun reaal da variàbil reaal e $a\,\!$ un punt dal dumini da definiziun da f, sa-dis che $l\in\R\,\!$ l-è ul límit da $f\,\!$ in $a\,\!$ si :

intuitivament : $f(x)\,\!$ la s'acòsta a $l\,\!$ in la mesüra che $x\,\!$ s'acosta a $a\,\!$ ;
cun püssee da rigur, per ogni « descart da toleranza » $\epsilon > 0\,\!$ sa-poeu truvà un « descart da cunfidenza » $\delta > 0\,\!$ tal che, quaand $x\,\!$ l-è vesin a $a\,\!$ per manch da $\delta\,\!$ , alura $f(x)\,\!$ l-è vesin a $l\,\!$ per manch da $\epsilon\,\!$ .

In símbul: $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

(illüstraziun 1)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $l\,\!$ quaand sa-voeur, sura un interval -si assee piscin-, intorn a $a\,\!$ .

In chest cas-chí, sa-scriif $\lim_{x \to a}f(x) = l\,\!$ .

[redatá] Límit infinii

A poeu anca süced che, int ul punt $a\,\!$ , la funziun $f\,\!$ la gh-hàbja nò límit finii, ma infinii. Ches-chí a-voeur dí che, acustand-u-s a $a\,\!$ la valur da $f\,\!$ "s'acosta" a $+\infty\,\!$ u a $-\infty\,\!$ id est, al-deventa graant quaand sa-voeur in valur absolüda e sa-mantegn da segn positiif (cas da $+\infty\,\!$ ) u negatiif ( $-\infty\,\!$ ).

La formülaziun matemàtica l'è alura la segueent : per ogni « llindar??? da toleranza » $M>0\,\!$ sa-poeu truvà un « descart da confidenza » $\delta > 0\,\!$ tal che, quaand $x\,\!$ l-è vesin a $a\,\!$ per manch da $\delta\,\!$ , alura $\vert f(x) \vert\,\!$ l-è püssee graant che $M\,\!$ e $f\!$ sa-mantegn da segn costant: $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) \vert \geq M$ e: $f (x) > 0$ pel cas dal límit $+\infty$ , $f (x) < 0$ pel cas dal límit $-\infty$ .

(illüstraziun 2)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $\pm\infty$ che sa-voeur, sura un interval -si assee piscin-, intorn a $a\,\!$ .

In chest cas-chí sa-scriif $\lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\!$ (u $\lim_{x \to a}f(x) = -\infty\,\!$ ).

NB: Anca per i funziun da variàbil reaal, sa-poeu parlà da límit $\infty \,\!$ , quaand $\lim_{x \to a} {1/f(x)} =0$ . Ches-chí al-resüm i cas $\pm\infty \,\!$ e, anca ben, ul cas che $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) \vert \geq M$ però $f$ la-poeu cambià segn da manera arbitrària. Ches-chí a-poeu minga süced per funziun contínui in $(a-\delta,x)\bigcup (x, a+\delta)$ .

[redatá] Límit a manzina, a drita

A-poeu süced anca che ul cumportameent (/kumpòrta'ment/???) local da la funziun $f\,\!$ al-sia difereent « a manzina » da $a\,\!$ (i.e. per i $x<a\,\!$ ) e « a drita » da $a\,\!$ (i.e. per i $x>a\,\!$ ). Per esempi, una funziun la-poeu a(d)mett un límit a drita e minga a manzina, u anca a(d)mett düü límit difereent da ogni coté.

(illustraziun 3)

A-semm dunca portaa a introdü(r) i noziun da límit a drita e a manzina ; l'ünica diferenza cunt i límit « normaj » l'è che la prossimitaa da $f(x)\,\!$ cun $l\,\!$ u $\pm\infty\,\!$ l-è dumandada dumà per un coté da $a\,\!$ . I definiziun e notaziun curespundeent devénten dunca :

pel límit a manzina :

$\lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\!$ quaand

$a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

$\lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\!$ quaand

$a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M$

pel límit à drita :

$\lim_{x \to a, x>a}f(x) = l,\!$ quaand

$a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

$\lim_{x \to a, x>a}f(x) = +\infty\,\!$ quaand

$a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M$

I noziun da límit a drita e a manzina a-inn manch resrictiif che la noziun clàssica da límit « bilateraal » : una funziun la-poeu avègh un límit a manzina e un límit a drita senza avègh un límit bilateraal. Da fatt la-var la propietaa :

Una funziun la-gh-ha un límit in un punt $a \,\!$ si e dumà si la-gh-ha un límit a manzina $l_e\,\!$ , un límit a drita $l_d\,\!$ e i düü a-inn istess : $l_g=l_d\,\!$

[redatá] Límit d'una funziun in $\pm\infty\,\!$

Adess cunsideremm ul cumportameent d'una funziun f -definida per ogni x assee graant in valur absolüda- « ai límit » dal dumini da definiziun, sia quaand $x\,\!$ al-cress indefinidament (límit in $+\infty$ ), sia quaand $x\,\!$ al-decress indefinidament (límit in $-\infty$ ).

Sa-poeu notà che, in chest cuntest-chí, la noziun da límit a drita u a manzina la-gh-ha minga sentüü; da fatt i límit in $+\infty$ a-inn sempru di límit à manzina e i límit in $-\infty$ a-inn sempru di límit à drita.

[redatá] Límit finii

A-diremm che la funziun $f\,\!$ a(d)met ul límit finii $l\,\!$ in $+\infty$ si $f(x) \,\!$ s'acosta a $l\,\!$ in la mesüra che $x\,\!$ al-deventa püssee grand (u « al-tend a $+\infty\,\!$ »).

Matematicament, ches-chí al-sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni « descart da toleranza » $\epsilon>0 \,\!$ sa-poeu truvà una « llindar??? da confidenza » $M>0 \,\!$ al da là da la qual la nostra funziun la-toeu valur deent l'interval da toleranza, da centru $l\,\!$ e radi $\epsilon \,\!$ : $x \geq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

(illustraziun 4)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $l\,\!$ che sa-voeur, a partí d'una llindar??? convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif $\lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!$ .

Tütt ches-chí al-s'ada(p)ta facilment al cas dal límit in $-\infty$ : sa-dis che $f(x)\,\!$ al-tend a $l\,\!$ quaand $x$ al-tend a $-\infty$ si per un descart $\epsilon > 0 \,\!$ sa-poeu truvà un

llindar???   tal che :

$x \leq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$ e sa-scriverà $\lim_{x \to -\infty}f(x) = l \,\!$ .

[redatá] Límit infinii

Diremm che la funziun $f\,\!$ a(d)met ul límit $\pm\infty\,\!$ in $+\infty$ si $\vert f(x) \vert\,\!$ al-deventa arbitrariament graant in la mesüra che $x\,\!$ al-deventa püssee graant (u « al-tend a $+\infty\,\!$ »). Da püssee, $f(x)\,\!$ resta da segn positiif ( $+\infty\,\!$ ) u negatiif ( $-\infty\,\!$ ) per sti x . La permanenza dal segn l'è minga dumandada si sa-parla dumà da límit $\infty\,\!$ .

Matematicament, ches-chí sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni

« llindar???  da toleranza »  sa-poeu truvà un

« llindar??? da confidenza » $M>0 \,\!$ dopu ul qual la nostra funziun prenderà valur dent l'interval da toleranza, i.e. $(K,+\infty)\,\!$ (cas $+\infty\,\!$ ), $(-\infty,-K)\,\!$ (cas $-\infty\,\!$ ) u $(-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\!$ (cas $\infty\,\!$ ).

(illüstraziun 5)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $\pm\infty\,\!$ (u $\infty\,\!$ ) che sa-voeur, a partí d'un

 llindar??? convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\!$ u $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \infty \,\!$ .

Tütt ches-chí s'ada(p)ta facilment al cas dal límit in $-\infty$ : diremm che la funziun $f\,\!$ a(d)met ul límit $\pm\infty\,\!$ in $-\infty$ si $\vert f(x) \vert\,\!$ al-deventa arbitrariament graant in la mesüra che $x\,\!$ al-deventa püssee graant in valur absolüda, ma al-gh-ha segn negatiif (u « al-tend a $-\infty\,\!$ »). Da plüü, $f\,\!$ la-resta cun segn positiif ( $+\infty\,\!$ ) u negatiif ( $-\infty\,\!$ ) per sti x. La permanenza dal segn l'è minga demandada si sa-parla dumà da límit $\infty\,\!$ .

Matematicament, ches-chí sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni

« llindar??? da toleranza »  sa-poeu truvà un

« llindar??? da confidenza » $M<0 \,\!$ prima dal qual la nostra funziun prenderà valur deent l'interval da toleranza, i.e. $(K,+\infty)\,\!$ (cas $+\infty\,\!$ ), $(-\infty,-K)\,\!$ (cas $-\infty\,\!$ ) u $(-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\!$ (cas $\infty\,\!$ ).

(illustraziun 6)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $\pm\infty\,\!$ (u $\infty\,\!$ ) che sa-voeur, a partir d'una

 llindar??? convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\!$ u $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \infty \,\!$ .

L'operaziun da passagg al límit (u al límit a drita/manzina) l'è linear anca per i funziun da variàbil reaal, ind ul sentüü seguent: al-sia x₀ un punt da la re(c)ta reaal cumpletada, i.e. un nümer reaal finii u $\pm\infty$ . Si f e g a-inn di funziun da variàbil reaal che a(d)meten límit L e P a x₀, alura anca la funziun f+g í a(d)met límit, e chest límit-chí l-è L+P. Si a l-è un nümer reaal, alura la funziun a f a(d)met límit a x₀, e chest límit l-è aL. Inscí, ul conjunt???

K da tüti i funziun che a(d)meten límit in x₀ l-è un spazi ve(c)torial reaal e l'operaziun da passagg al límit l-è una forma linear reaal sura K.

Si f e g a-inn di funziun da variàbil reaal che a(d)meten límit L e P a x₀, alura anca la funziun fg í a(d)met límit, e chest límit l-è LP, inscí ul spazi ve(c)torial K l-è da fatt un'algebra reaal. Si P l-è minga 0, alura sa-poeu truvà un interval intorn a x₀ indúa f/g l-è ben definida; ul sò límit a x₀ l-è L/P.

[redatá] Esempi:

Ul límit da $x\mapsto \frac{1}{x}$ quaand x al-tend a $\pm\infty$ l-è istess che 0. Ciaav da la demostraziun per $+\infty$ : si $x\geq M$ , alura $\frac{1}{x}\leq 1/M$ .
Ul límit a drita da $x\mapsto \frac{1}{x}$ quaand x al-tend a 0 (0⁺) l-è $+\infty$ .

Ciaav da la demostraziun: si $0<x\leq \delta$ , alura $\frac{1}{x}\geq \frac{1}{\delta}$ .

Ul límit a manzina da $x\mapsto \frac{1}{x}$ quaand x al-tend a 0 (0^-) l-è $-\infty$ .
Ul límit da $x\mapsto \frac{1}{x}$ quaand x al-tend a 0 (0⁺) l-è $\infty$ .
Ul límit da $x\mapsto x^2$ quaand x al-tend a 3 l-è istess che 9 (In chest cas-chí la funziun l-è definida e contínua in chest punt-chí, e la valur da la funziun l-è istess chel límit). Ciaav da la demostraziun: si $2\leq x\leq 4$ , alura $\vert x^2-9\vert= \vert (x+3)\vert\cdot\vert (x-3) \vert\leq 7\cdot\vert (x-3) \vert$ .
Ul límit da $x\mapsto \vert x \vert^{\vert x \vert}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1.
Ul límit da $x\mapsto \frac{(a+ x)^2-a^2}{x}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 2a.
Ul límit a drita da $x\mapsto \frac{\vert x \vert}{x}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1; ul límit a manzina l-è igual à -1.
Ul límit da $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 1.
Ul límit da $x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 0.
Ul límit da $x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x^2}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1/2.
Ul límit da $x\mapsto \frac{\sin x}{x}+\vert x \vert^{\vert x \vert}$ quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 2.
Ul límit da $x\mapsto \frac{\sin x}{x}\cdot\vert x \vert^{\vert x \vert}$ quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 1.

[redatá] Lligam??? tra i límit da sequenz(i) e da funziun

Sa-poeu pruvà che $\lim_{x \to +x_0} f(x) = y_0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} f(u_n) = y_0$ per ogni sequenza $(u n) =$ tal che $\lim_{n \to \infty} (u_n) = x_0$ , i.e. per ogni sequenza convergeent a $x 0$ .