Límit

De Viquipèdia

En matemàtiques, la noció de límit és força intuïtiva, malgrat la seva formulació abstracta. Per a donar-ne una introducció simple, aquí tractarem només el cas de les successions de nombres reals i el cas de les funcions reals d'una variable real.

Taula de continguts

1 Límit d'una successió
2 Límits de funcions
3 Lligam entre els límits de successions i de funcions
4 Complements

[edita] Límit d'una successió

[edita] Introducció

Les successions són les funcions amb domini de definició ℕ, o, a vegades ℤ (sobretot en anàlisi de Fourier). Aquí tractarem només el primer cas.

Ara, cada enter és un punt aïllat; en altres mots, no podem acostar-nos a $n\in\mathbb N$ mitjançant diferents punts de ℕ. Això implica que no es considera la idea de límit d'una successió en un enter finit: hi ha de fet només el seu valor.

Considerem doncs només la noció de límit per a $n\to+\infty$ ; l'anomenarem «límit de la successió».

[edita] Definició, convergència, divergència

Cas del límit finit $l\in\R\,\!$ : per a tot «descart de tolerància» $\epsilon > 0\,\!$ existeix un «enter de confidència» $N_0 \in \mathbb N \,\!$ tal que, per a tot n més gran que $N_0 \,\!$ , el valor $u_n \,\!$ és prop de l per a menys de ε: $n \geq N_0 \ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_n \leq l+\epsilon \,\!$ .

Quan existeix, el límit l és únic ; s'escriu llavors $\lim (u_n)_n = l \,\!$ , i es diu que $(u_n)_n \,\!$ tendeix (o també convergeix) cap a l.

Una successió que admet un límit finit és anomenada convergent. Hom té el teorema següent: Cada successió convergent és fitada.

Cas del límit infinit: distingim dos casos:

A) $+\infty\,$ i B) $-\infty\,$ .

Per a cada « llindar de tolerància » $M>0 \,\!$ cal que es pugui trobar un « enter de confidència » $N_0 \in \N \,\!$ a partir del qual els valors de $\vert (u_n) \vert\,$ siguin superiors a $M \,\!$ i els $(u_n) \,$ es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:

$n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\!$ per a $\lim (u_n) = +\infty \,\!$
$n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n \leq M \,\!$ per a $\lim (u_n) = -\infty \,\!$ .

A més, en el cas A) $n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n >0 \,\!$ i en el cas B) $n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n <0 \,\!$ .

Se diu llavors que $(u_n) \,\!$ tendeix (o divergeix) a: A) $+\infty \,\!$ , B) $-\infty \,\!$ .

NB: Es parla de successió convergent només quan una successió admet un límit finit, de successió divergent en els casos A) i B), de successió indeterminada en tots els altres casos.

NB: Es pot també parlar de límit $\infty \,\!$ quan $\lim {1\over u_n} =0$ . Això resumeix els casos A) i B) i, a més, el cas on $n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\!$ però els $(u n)$ poden cambiar signe de manera arbitrària.

[edita] Sub-successions

Es parla de sub-successió de la successió $(u_n) \,\!$ quan es seleccionen "només uns quants" elements de $(u_n) \,\!$ : així es considera només una part de l'informació. L'exemple més clàssic és aquell de les sub-successions $(u_{2n}) \,\!$ dels termes de rang parell, i $(u_{2n+1}) \,\!$ dels termes de rang imparell.

Més generalment, es designa amb el terme « extracció » cada aplicació $\phi \ : \ \N \to \N \,\!$ estrictament creixent. Llavors una sub-successió és una successió de la forma $(u_{\phi(n)}) \,\!$ .

Una proprietat important és que una successió $(u_n) \,\!$ admet límit (finit o infinit) si i només si cada sub-successió $(u_{\phi(n)}) \,\!$ admet el mateix límit.

[edita] Linealitat del passatge al límit

L'operació de passatge al límit és lineal en el sentit següent :

si (x_n) i (y_n) són unes successions reals convergents i tals que lim x_n = L i lim y_n = P, llavors

la successió (x_n + y_n) convergeix a L + P.
Si a és un nombre real, llavors la successió (a x_n) convergeix a aL.

Així, el conjunt C de totes les successions reals convergents és un espai vectorial real i l'operació de passatge al límit és una forma lineal real sobre C. Si (x_n) i (y_n) són unes successions reals convergents amb límits L i P respectivament, llavors la successió (x_ny_n) convergeix a LP. Doncs l'espai vectorial C és de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar $N\in{\mathbb N}$ tal que la successió (x_n/y_n), amb $n\geq N$ és bé definita i convergent amb límit L/P.

Cada successió convergent és fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del límit. Si (x_n) és una successió de reals, fitada damunt i creixent (-o també fitada davall i decreixent-), llavors és convergent.

Cada successió de Cauchy de nombres reals és convergent, o més simplement: el conjunt dels nombres reals és complet.

[edita] Exemples

La successió (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals és convergent, amb límit 0.
La successió (3, 3, 3, 3, 3, ...) és convergent de límit 3.
La successió $n\mapsto u(n):= (-1)^{n}= (-1, 1, -1, 1, ...)$ no és convergent, però les seves sub-successions $n\mapsto u(2n)$ i $n\mapsto u(2n+1)$ ho són.
La successió (1, -2, 3, -4, 5, ...) té límit $\infty$ .
La successió (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) és convergent, amb límit 1. Aquesta successió és un exemple de sèrie geomètrica.
Si a és un nombre real de valor absolut |a| < 1, llavors la successió de terme general aⁿ té límit 0.
Si a >0, llavors la successió de terme general a^1/n té límit igual a 1.
La successió $n\mapsto u(n):= (1+1/n)^{n}$ convergeix a e i, per a tot nombre real (de fet complex) x, la successió $n\mapsto u(n):= (1+x/n)^{n}$ convergeix a $e x$ .

[edita] Límits de funcions

Convé distingir el cas del límit en un punt real finit i el cas del límit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

[edita] Límit d'una funció a un punt a

[edita] Límits finits

Si $\ f$ és una funció real de variable real i $\ a$ un punt del domini de definició de f, es diu que $\ l\in\R$ és el límit de $\ f$ en $\ a$ si :

intuïtivament, $\ f(x)$ s'acosta a $\ l$ en la mesura que $\ x$ s'acosta a $\ a$ ;
amb més rigor, per a tot « descart de tolerància » $\ \epsilon > 0$ es pot trobar un « descart de confidència » $\ \delta > 0$ tal que, quan $\ x$ és prop de $\ a$ a menys de $\ \delta$ , llavors $f (x)$ és prop de $\ l$ a menys de $\ \epsilon$ .

En símbols: $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

(il·lustració 1)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $l\,\!$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a\,\!$ .

En aquest cas, s'escriu $\lim_{x \to a}f(x) = l\,\!$ .

[edita] Límits infinits

Pot també succeir que al punt $a\,\!$ la funció $f\,\!$ no hi hagi límit finit, sinó infinit. Això vol dir que, s'acostant a $a\,\!$ el valor de $f\,\!$ "s'acosta" a $+\infty\,\!$ o a $-\infty\,\!$ ; és a dir, esdeven grand quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de $+\infty\,\!$ ) o negatiu ( $-\infty\,\!$ ).

La formulació matemàtica és llavors la següent : per a cada « llindar de tolerància » $M>0\,\!$ es pot trobar un « descart de confidència » $\delta > 0\,\!$ tal que, dès que $x\,\!$ és prop de $a\,\!$ a menys de $\delta\,\!$ , llavors $\vert f(x) \vert\,\!$ és major que $M\,\!$ i $f\!$ es manten de signe constant: $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) \vert \geq M$ i: $f (x) > 0$ per al cas del límit $+\infty$ , $f (x) < 0$ per al cas del límit $-\infty$ .

(il·lustració 2)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm\infty$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a\,\!$ .

En aquest cas s'escriu $\lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\!$ (o $\lim_{x \to a}f(x) = -\infty\,\!$ ).

[edita] Infinit sense signe

NB: També per a les funcions de variable real (però és més utilitzat a l'anàlisi complexa), es pot parlar de límit $\infty \,\!$ , quan $\lim_{x \to a} {1/f(x)} =0$ . Això resumeix els casos $\pm\infty \,\!$ i, a més, el cas on $a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) \vert \geq M$ però $f$ pot cambiar signe de manera arbitraria. Això no pot succeir per a funcions contínues en $(a-\delta,x)\bigcup (x, a+\delta)$ .

[edita] Límits per l'esquerra, per la dreta

Pot succeir també que el comportament local de la funció $f\,\!$ sigui different « per l'esquerra » de $a\,\!$ (és a dir per a les $x<a\,\!$ ) i « per la dreta » de $a\,\!$ (és a dir per a les $x>a\,\!$ ). Per exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per la esquerra, o també admetre dos límits diferents de cada costat.

(il·lustració 3)

Hom és doncs portat a introduir les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra ; la sola diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de $f(x)\,\!$ amb $l\,\!$ o $\pm\infty\,\!$ és demanada només per a un costat de $a\,\!$ . Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :

per al límit per l'esquerra :

$\lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\!$ quan

$a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

$\lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\!$ quan

$a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M$

per al límit per la dreta :

$\lim_{x \to a, x>a}f(x) = l,\!$ quan

$a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon$

$\lim_{x \to a, x>a}f(x) = +\infty\,\!$ quan

$a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M$

Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funció té un límit en un punt $a \,\!$ si i només si té un límit per l'esquerra $l_e\,\!$ i un límit per la dreta $l_d\,\!$ i aquests són iguals : $l_g=l_d\,\!$

[edita] Límit d'una funció a l'infinit

Ara considerem el comportament d'una funció f -definida per a cada x prou gran en valor absolut- « als límits » del domini de definicó, sigui quan $x\,\!$ creix indefinitament (límit en $+\infty$ ), sigui quan $x\,\!$ decreix indefinitament (límit en $-\infty$ ).

Es pot notar que, en aquest context, la noció de límit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit; de fet els límits en $+\infty$ són sempre uns límits per l'esquerra i els límits en $-\infty$ són sempre uns límits per la dreta.

[edita] Límits finits

El límit de una funció a més infinit és L si, per a tot ε > 0 existeix S > 0 ; tal que |f(x)-L| < ε per a tot x > S.

Direm que la funció $f\,\!$ admet el límit finit $l\,\!$ en $+\infty$ si $f(x) \,\!$ s'acosta a $l\,\!$ en la mesura que $x\,\!$ esdeven més gran (o « tendeix a $+\infty\,\!$ »).

Matemàticament, això es traduit mitjançant el fet que, per a tot « descart de tolerància » $\epsilon>0 \,\!$ es pot trobar una « llindar de confidència » $M>0 \,\!$ després de la qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, de centre $l\,\!$ i radi $\epsilon \,\!$ , és a dir: $x \geq M \ \Rightarrow$ $\ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $l\,\!$ que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran. En aquest cas s'escriu $\lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!$ .

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en $-\infty$ : es diu que $f(x)\,\!$ tendeix a $l\,\!$ quan $x$ tendeix a $-\infty$ si per a tot descart $\epsilon > 0 \,\!$ es pot trobar una llindar $M < 0 \,\!$ tal que: $x \leq M \$ $\Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$ , i s'escriurà $\lim_{x \to -\infty}f(x) = l \,\!$ .

[edita] Límits infinits

Direm que la funció $f\,\!$ admet el límit $\pm\infty\,\!$ en $+\infty$ si $\vert f(x) \vert\,\!$ esdevé arbitràriament gran en la mesura que $x\,\!$ esdevé més gran (o « tendeix a $+\infty\,\!$ »). De més, $f(x)\,\!$ resta amb signe positiu ( $+\infty\,\!$ ) o negatiu ( $-\infty\,\!$ ) per a tals x . La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit $\infty\,\!$ .

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » $K>0 \,\!$ es pot trobar un « llindar de confidència » $M>0 \,\!$ després del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir $(K,+\infty)\,\!$ (cas $+\infty\,\!$ ), $(-\infty,-K)\,\!$ (cas $-\infty\,\!$ ) o $(-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\!$ (cas $\infty\,\!$ ).

(il·lustració 5)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm\infty\,\!$ (o $\infty\,\!$ ) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\!$ o $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \infty \,\!$ .

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en $-\infty$ : direm que la funció $f\,\!$ admet el límit $\pm\infty\,\!$ en $-\infty$ si $\vert f(x) \vert\,\!$ esdeven arbitràriament gran en la mesura que $x\,\!$ esdeven més gran en valor absolut, mes ha signe negatiu (o « tendeix a $-\infty\,\!$ »). De més, $f\,\!$ resta amb signe positiu ( $+\infty\,\!$ ) o negatiu ( $-\infty\,\!$ ) per a tals x.

La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit $\infty\,\!$ .

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » $K>0 \,\!$ es pot trobar un « llindar de confidència » $M<0 \,\!$ abans del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir $(K,+\infty)\,\!$ (cas $+\infty\,\!$ ), $(-\infty,-K)\,\!$ (cas $-\infty\,\!$ ) o $(-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\!$ (cas $\infty\,\!$ ).

(il·lustració 6)

En altres mots, es pot fer $f(x)\,\!$ tant prop de $\pm\infty\,\!$ (o $\infty\,\!$ ) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\!$ o $\lim_{x \to +\infty}f(x) = \infty \,\!$ .

L'operació de passatge al límit (o al límit per la dreta/esquerra) és lineal també per a les funcions de variable real, en el sentit següent: sigui x₀ un punt de la dreta real acabada, és a dir un nombre real finit o $\pm\infty$ .

Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x₀, llavors també la funció f+g hi admet límit, i aquest límit és L+P.
Si a és un nombre real, llavors la funció a f admet límit a x₀, i aquest límit és aL.

Així, el conjunt K de totes les funcions que admeten límit a x₀ és un espai vectorial real i l'operació de passar al límit és una forma lineal real sobre K.

Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x₀, llavors també la funció fg hi admet límit, i aquest límit és LP, així l'espai vectorial K es de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar un interval al voltant de x₀ on f/g està ben definida; el seu límit a x₀ és L/P.

[edita] Exemples

El límit de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a $\pm\infty$ és igual a 0.

Clau de la demostració per a $+\infty$ : si $x\geq M$ , llavors $\frac{1}{x}\leq 1/M$ .

El límit per la dreta de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 (0⁺) és $+\infty$ .

Clau de la demostració: si $0<x\leq \delta$ , llavors $\frac{1}{x}\geq \frac{1}{\delta}$ .

El límit per l'esquerra de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 (0^-) és $-\infty$ .
El límit (bilateral) de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 és $\infty$ sensa signe, és a dir $x\mapsto \frac{1}{1/x}$ tendeix a 0 quan x tendeix a 0, puix que $\frac{1}{1/x}=x$ . Recordeu que

$\infty$ sense signe és més utilitzat en anàlisi complexa. Vegeu també la nota anterior.

El límit de $x\mapsto x^2$ quan x tendeix a 3 és igual a 9 (En aquest cas la funció és definita i contínua en aquest punt, i el valor de la funció és igual al seu límit).

Clau de la demostració: si $2\leq x\leq 4$ , llavors $\vert x^2-9\vert= \vert (x+3)\vert\cdot\vert (x-3) \vert\leq 7\cdot\vert (x-3) \vert$ .

El límit de $x\mapsto \vert x \vert^{\vert x \vert}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.
El límit de $x\mapsto \frac{(a+ x)^2-a^2}{x}$ quan x tendeix a 0 és igual a 2a.
El límit per la dreta de $x\mapsto \frac{\vert x \vert}{x}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1; el límit per l'esquerra és igual a -1.
El límit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.
El límit de $x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x}$ quan x tendeix a 0 és igual a 0.
El límit de $x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x^2}$ quan x tendeix a 0 és igual a -1/2.
El límit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}+\vert x \vert^{\vert x \vert}$ quan x tendeix a 0 és igual a 2.
El límit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}\cdot\vert x \vert^{\vert x \vert}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.

[edita] Lligam entre els límits de successions i de funcions

Es pot provar que $\lim_{x \to +x_0} f(x) = y_0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} f(u_n) = y_0$ per a cada successió $(u n) =$ tal que $\lim_{n \to \infty} (u_n) = x_0$ , és a dir per a cada successió convergent a $x 0$ .