Gränsvärde

Wikipedia

Denna artikel handlar om det matematiska begreppet gränsvärde. Se också Gränsvärde (hygieniskt).

Ett gränsvärde för en funktion beskriver hur funktionen beter sig när dess argument kommer nära en viss punkt eller växer sig större och större. Gränsvärden används i Matematisk analys, bland annat för att definiera de viktiga koncepten kontinuerlig och derivata.

Gränsvärdet betecknas med notationen:

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = A.$

alternativt $f(x)\rightarrow A$ då $x\rightarrow a$ .

Båda utläses som ”gränsvärdet av $f (x)$ då $x$ går mot $a$ är lika med $A$ ” eller ”limes av $f (x)$ …”, och innebär att när x är "nästan" a kommer f(x) att "nästan" vara A. Viktigt att notera är att f(a) inte behöver vara definierad, och om f(a) är det, behöver det inte nödvändigtvis vara lika med A.

Exempel: Låt f(x)=x³+2. Vi är intresserade av gränsvärdet då $x\rightarrow 0$ . Ett sätt att ta reda på detta som egentligen inte är helt matematiskt korrekt men som är en bra illustration är att göra en värdetabell:

f(-1)	f(-0,1)	f(-0,01)	f(0)	f(0,01)	f(0,1)	f(1)
1	1,999	1,999999	2	2,000001	2,001	3

Eftersom funktionen tycks närma sig värdet "2" från både höger och vänster så är detta gränsvärdet. Att f(0) faktiskt är 2 har inget med saken att göra. Nedanstående funktion har faktiskt precis samma gränsvärde när x går mot 0:

$g(x)=\left\{\begin{matrix} x^3+2 & \mbox{om }x\ne 0 \\ \\ 7 & \mbox{om }x=0. \end{matrix}\right.$

Det finns dock naturligtvis funktioner för vilka det är långt mer komplicerat att beräkna gränsvärdet. I allmänhet är dessa sådana att man får uttryck på en obestämd form om man försöker sätta in funktionsvärden direkt, som till exempel " $\frac{0}{0}$ " (se division med noll), " $\infty-\infty$ " eller " $1^\infty$ ".

Exempel: Funktionen $f (x) = sin(x) / x$ är inte definierad för $x = 0$ eftersom division med noll inte är definierat. Däremot är gränsvärdet av $f (x)$ då $x \rightarrow 0$ lika med 1.

Det är inte alltid ett gränsvärde existerar; till exempel existerar inte gränsvärdet av $1 / | x |$ då $x \rightarrow 0$ eftersom värdet går mot oändligheten. Detta skrivs ibland något oegentligt som att gränsvärdet är oändligheten. Inte heller gränsvärdet av $sin(x)$ då $x \rightarrow \infty$ existerar eftersom funktionen oscillerar kring noll utan någon tendens att plana ut. Ett annat exempel är $H(x) = \{0 \ \mathrm{om} \ x<0, 1\ \mathrm{om}\ x\geqslant0\}$ , som inte har något gränsvärde för x = 0. Gränsvärdena från vänster och höger finns dock, med värdena 0 och 1.

[redigera] Strikt definition

Definitionen av ett gränsvärde är att om det för alla $ε > 0$ finns ett tal $δ > 0$ sådant att $| f (x) - A | < ε$ för alla x sådana att $0 < | x - a | < δ$ , så är gränsvärdet för $f (a)$ lika med $A$ . Vad detta innebär är att det går att hitta en $δ$ -omgivning till $a$ , $a \pm \delta$ , där $f (x)$ är godtyckligt nära $A$ .

Om a är oändligheten modifieras ovanstående till att för alla $ε > 0$ skall det finns ett tal M sådant att $| f (x) - A | < ε$ för alla x>M .

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../g/r/%C3%A4/Gr%C3%A4nsv%C3%A4rde.html

Kategori: Matematisk analys

Gränsvärde

Wikipedia

[redigera] Strikt definition

Views

Navigering

Sök

Andra språk