Derivada

De Viquipèdia

La derivada és, juntament amb la integral una de les dues operacions centrals del càlcul (veure també teorema fonamental del càlcul).

Matemàticament, la derivada $f'$ , es defineix com el límit:

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$

Altres maneres d'expressar la derivada $f'$ :

$\frac{df}{dx};~ \frac{d}{dx}f;~ D_x f;~\dot{f}$

Més intuitivament la derivada expressa :

el ritme de canvi de la funció. Si ens fixem en la definició, veiem que el que fem és trobar com canvia la funció (això és f(x+h)-f(x)) i ho comparem amb el mateix valor h, el valor que ens hem desplaçat.

Un exemple en cinemàtica és quan tenim la posició d'una partícula expressada en funció del temps, x(t). Si ara volem saber a quina velocitat es mou la partícula, el que hem de fer és derivar la funció posició per obtindre la velocitat. És a dir : mirem la distància recorreguda (això és x(t+h)-x(t)) i ho comparem amb el temps transcorregut.

la tangent.

Es diu que una funció és diferenciable en x si existeix la seva derivada a x. Per tant, una funció que no sigui contínua a x no serà diferenciable perque la seva tangent no existeix. D'altra banda que una funció sigui contínua no vol dir que sigui diferenciable. Un exemple és la funció de Weierstrass .

[edita] Algunes Derivades Notables

Funció F: primitiva de f	funció f: derivada de F
$f\left(x\right) = k$	$f'\left(x\right) = 0$
$f\left(x\right) = x$	$f'\left(x\right) = 1$
$f\left(x\right) = kx$	$f'\left(x\right) = k$
$f\left(x\right) = ax + b$	$f'\left(x\right) = a$
$f\left(x\right) = x^n$	$f'\left(x\right) = nx^{n-1}$
$f\left(x\right) = \sqrt{x}$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f\left(x\right) = e^x$	$f'\left(x\right) = e^x$
$f\left(x\right) = \ln(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = a^x (a > 0)$	$f'\left(x\right) = a^x \ln(a)$
$f\left(x\right) = \log_{b}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{ln{b}}\frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n}$	$f'\left(x\right) = -nx^{-n-1}$
$f\left(x\right) = \sin(x)$	$f'\left(x\right) = \cos(x)$
$f\left(x\right) = \cos(x)$	$f'\left(x\right) = -\sin(x)$
$f\left(x\right) = \tan(x)$	$f'\left(x\right) = \sec^2(x)$
$f\left(x\right) = \csc(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)$
$f\left(x\right) = \sec(x)$	$f'\left(x\right) = \sec(x)\tan{x}$
$f\left(x\right) = \cot(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc^2(x)$
$f\left(x\right) = \arcsin(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arccos(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arctan(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$
$f\left(x\right) = f \pm g$	$f'\left(x\right) = f' \pm g'$
$f\left(x\right) = fg$	$f'\left(x\right) = f'g + fg'$
$f\left(x\right) = fgh$	$f'\left(x\right) = f'gh + fg'h + fgh'$
$f\left(x\right) = \frac{f}{g}$	$f'\left(x\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
$f\left(x\right) = kf$	$f'\left(x\right) = kf'$
$f\left(x\right) = f\circ g$	$f'\left(x\right) = (f'\circ g)g'$

Obtingut de "http://ca.wikipedia.org../../../d/e/r/Derivada.html"

Categoria: Càlcul

Derivada

De Viquipèdia

[edita] Algunes Derivades Notables

Views

Navegació

Cerca

En altres llengües