Spirála

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Spirála je rovinná křivka, která představuje trajektorii bodů pohybujících se po přímce podle daného pravidla, zatímco přímka se otáčí konstantní rychlostí kolem pevného bodu.

Jedná se tedy o množiny bodů, jejichž vzdálenost $ρ$ od pevného bodu $O$ je funkcí velikosti úhlu $α$ , který svírá rádiusvektor bodu spirály s pevně danou polopřímkou s počátkem v bodě $O$ . K popisu spirál je tedy vhodné vyjádření v polárních souřadnicích $ρ = f (α)$ .

[editovat] Archimédova spirála

Archimédova spirála

Pokud se bod pohybuje po přímce rovnoměrně, pak jeho vzdálenost je úměrná úhlu, tzn.

ρ = k α

kde $k > 0$ je koeficient úměrnosti. Taková spirála se nazývá Archimédovou spirálou.

Délku oblouku Archimédovy spirály lze určit ze vztahu

$s = \frac{k}{2}\left(\alpha\sqrt{\alpha^2+1} + \operatorname{arcsinh}\alpha\right)$

Poloměr křivosti Archimédovy spirály je

$R = \frac{{(k^2+\rho^2)}^\frac{3}{2}}{2k^2+\rho^2} = \frac{k{(\alpha^2+1)}^\frac{3}{2}}{\alpha^2+2}$

[editovat] Logaritmická spirála

U logaritmické spirály se bod pohybuje tak, že dráhy které urazí za stejné časové úseky, tvoří geometrickou posloupnost. Logaritmická spirála protíná všechny přímky vycházející z počátku pod stejným úhlem $β$ . Logaritmickou spirálu lze vyjádřit rovnicí