Lineární algebra
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Lineární algebra je odvětví matematiky, které se zabývá vektory, vektorovými prostory, soustavami lineárních rovnic a lineárními transformacemi. Jelikož vektorové prostory jsou důležitou součástí moderní matematiky, je lineární algebra důležitou součástí jak abstraktní algebry, tak funkcionální analýzy. Aplikovaná lineární algebra se využívá například v přírodních vědách nebo sociálních vědách.
[editovat] Historie
Moderní lineární algebra vznikla v letech 1843 a 1844. V roce 1843 vymyslel William Rowan Hamilton kvaterniony. V roce 1844 Hermann Grassmann publikoval svou knihu Die lineale Ausdehnungslehre. V roce 1857 pak Arthur Cayley publikoval svou ideu matic (velikosti 2×2).
[editovat] Základní úvod
Lineární algebra má svoje počátky ve studiu vektorů v kartézském dvourozměrném a trojrozměrném prostoru. Vektor je tady směrovaná úsečka a je charakterizovaný jak svojí velikostí, která je dána délkou úsečky, tak svým směrem. Vektory mohou být používány k reprezentaci fyzických veličin jako je například síla a mohou být navzájem sčítány a násobeny skalárem.
Moderní lineární algebra byla později rozšířena na prostory libovolné dimenze (i nekonečné). Vektorový prostor dimenze n se nazývá n-rozměrný prostor. Mnohé z užitečných vlastností 2 a 3-dimenzionálního prostoru mohou být rozšířeny na tyto prostory vyšší dimenze. Ačkoli si mnoho lidí nedokáže snadno představit vektory n-rozměrného prostoru, jsou tyto vektory neboli n-tice užitečné pro reprezentaci dat. Protože vektory nebo n-tice jsou uspořádané seznamy n komponent, je možné s daty v této podobě vhodně manipulovat. Například v ekonomii lze používat řekněme 8-dimenzionální vektory neboli osmice jako reprezentaci hrubého národního produktu 8 zemí. Mohli bychom se rozhodnout zobrazit HNP 8 zemí určitého roku, kde je dáno pořadí zemí, například (USA, Velká Británie, Francie, Německo, Španělsko, Indie, Japonsko, Austrálie), pomocí vektoru (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8), ve kterém se HNP každé země nachází na odpovídající pozici.
Jako čistě abstraktní koncept, na kterém se dokazují věty, je vektorový prostor (nebo lineární prostor) součástí abstraktní algebry a je v této oblasti dobře integrován. Příkladem tohoto mohou být například grupy invertibilních lineárních zobrazení nebo matic a okruhy lineárních zobrazení vektorového prostoru. Lineární algebra také hraje důležitou roli v analýze, zvláště v popisu derivací vyššího řádu ve vektorové analýze a ve studiu součinu tenzorů a alternujících zobrazení.
Vektorový prostor se definuje nad polem, jako je třeba pole reálných čísel nebo pole komplexních čísel. Lineární operátory převádí prvky z jednoho lineárního prostoru do druhého (nebo do toho samého prostoru) a zachovává přitom vektorové sčítání a násobení skalárem dané na těchto vektorových prostorech. Množina všech takových transformací je také vektorovým prostorem. Je-li báze vektorového prostoru pevně zvolená, pak lze každou lineární transformaci zapsat ve formě matice. Detailní zkoumání vlastností matic a algoritmů prováděných na maticích, včetně výpočtu determinantu a eigenvektorů matice, je součástí lineární algebry.
Obecná metoda, kdy je nalezen lineární způsob pohledu na nějaký problém, ten je pak vyjádřen v termínech lineární algebry a je vyřešen například pomocí matic, je jedna z nejšířeji použitelných metod v matematice.
[editovat] Některé užitečné věty
- Každý lineární prostor má bázi. (Tento výrok je logicky ekvivalentní s axiomem výběru.)
- Nenulová matice A s n řádky a n sloupci je invertibilní, existuje-li matice B taková, že platí AB = BA = I , kde I je jednotková matice.
- Matice je invertibilní právě tehdy, když její determinant není nulový.
- Matice je invertibilní právě tehdy, když lineární zobrazení reprezentované touto maticí je izomorfismus.
