Matrice trasposta coniugata

Nota disambigua - Se stai cercando la trasposta della matrice dei cofattori (talvolta detta aggiunta), vedi matrice dei cofattori.

In algebra lineare, si dice matrice trasposta coniugata (o matrice aggiunta) la matrice ottenuta da una matrice applicando la trasposizione e prendendo il complesso coniugato di tutti gli elementi:

$A^{\dagger} = (A^T)^* = (A^{*})^T$

In termini degli elementi abbiamo:

$(A^{\dagger})_{jk} = A^{*}_{kj}$

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna: $A_{kj}^* = A_{jk}^{\dagger}$

Ad esempio:

$A=\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\ 7-6i&1-3i\end{pmatrix}\quad\rightarrow\quad A^{\dagger}=\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\ 2-i&1+3i\end{pmatrix}$

Indice

$\left( A^{\dagger} \right)^{\dagger} = A$
$\left( A + B \right)^{\dagger} = A^{\dagger} + B^{\dagger}$
$\left(c A \right)^{\dagger} = c^* \cdot A^{\dagger}$
$\left( A \cdot B \right)^{\dagger} = B^{\dagger} \cdot A^{\dagger}$
In generale: $\left( A \cdot B \cdot C \cdot D ... \right)^{\dagger} = ... D^{\dagger} \cdot C^{\dagger} \cdot B^{\dagger} \cdot A^{\dagger}$
$\langle Au,v\rangle = \langle u,A^{\dagger}v\rangle$
$\langle u,Av\rangle ^* = \langle v,A^{\dagger}u\rangle$