Vikipedio:Projekto matematiko/Hazarda marŝo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Hazarda marŝo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko kaj fiziko, hazarda marŝo estas formaligo de la intuicia ideo de prenante sukcesa (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas), ĉiu en hazarda direkto.

Hazarda marŝo povas ankaŭ esti (aspektita, rigardita) je kiel Markova ĉeno kies (ŝtato, stato, stati) spaco estas donita per la (entjeroj, entjeras) $i=0,\pm 1,\pm 2,...$ , por iu nombro $0 < p < 1$ , $P i, i + 1 = p = 1 - P i, i - 1$ . Ni povas (voko, voki) ĝi hazarda marŝo ĉar ni (majo, povas) (opinii, pensi) de ĝi kiel estante modelo por persona marŝanta sur rekto kiu je ĉiu punkto de tempo ĉu prenas unu (ŝtupo, paŝi) dekstren kun probablo $p$ aŭ unu (ŝtupo, paŝi) maldekstren kun probablo $1 - p$ .

Hazarda marŝo estas simpla stokastiko.

Hazarda marŝo estas iam (nomita, vokis) "drinkemula marŝi". Drinkemula marŝo estas ankaŭ la nomo de 1960 sciencfikcia romano per _Frederik_ _Pohl_.

Enhavo

1 Propraĵoj
2 Ekzemplo
3 Pli altaj dimensioj
4 Hazarda marŝo sur (grafikaĵoj, grafeoj)
5 Rilato al Moviĝo de Brown
6 (Mem, Sin)-_interacting_ hazardaj marŝoj
7 Aplikoj
8 Vidi ankaŭ
9 Referencoj
10 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Propraĵoj

La plej simpla hazarda marŝo estas vojo konstruis laŭ jenaj reguloj:

Estas deirpunkto.
La distanco de unu punkto en la vojo al la venonta estas konstanto.
La direkto de unu punkto en la vojo al la venonta estas elektita je hazarda, kaj ne direkto estas pli verŝajna ol alia.

La averaĝa (streĉita, rekta)-linia distanco inter starti kaj (fini, finpretigi) punktoj de hazarda marŝo de n (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) estas sur la (mendi, ordo) de $\sqrt{n}$ , aŭ pli detale, ĝia asimptoto konverĝas al $\sqrt{2 n \over \pi} \approx 0.8 \sqrt{n}$ . Se "averaĝa" estas komprenita en la (senso, senco) de radiko-(meznombro, signifi)-kvadrato, tiam la averaĝa distanco post n (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) estas pli alta, sed ankoraŭ malpli ol $\sqrt{n}$ (tempoj, tempas) la (ŝtupo, paŝi) longo.

Supozi ni desegni linia iu distanco de la fonto de la marŝi. Kiom (tempoj, tempas) estos la hazarda marŝo kruci la linio? Jeno, eble surprizanta, teoremo estas la (respondo, respondi): por (ĉiu, iu) hazarda marŝo, ĉiu punkto en la domajno estos esti krucigita malfinia nombro de (tempoj, tempas) preskaŭ certe. Ĉi tiu problemo havas multaj (nomoj, nomas): la traknivela paseja problemo, la rekursieco problemo aŭ la _gambler_'s ruino problemo. La fonto de la lasta nomo estas kiel sekvas: se vi estas _gambler_ kun finia kvanto de mono (leganta, ludanta) (foiro, honesta) ludo kontraŭ banko kun malfinia kvanto de mono, vi estos certe perdi. La kvanto de mono vi havi estos (aperi, plenumi) hazarda marŝo sed ĝi estos, preskaŭ certe, atingi iam 0, kaj la ludo devus esti super.

[redaktu] Ekzemplo

(Grafikaĵoj, Grafeoj) (n,R(n)) de ok hazardaj marŝoj startanta je 0.

La (grafikaĵo, grafeo) de ok hazardaj marŝoj, ĉiu startanta je nulo, estas montrita ĉi tie por 100 _timesteps_. Je ĉiufoje (ŝtupo, paŝi), ili iri ĉu unu (ŝtupo, paŝi) supren aŭ suben. Kiel unu povas vidi, dum ili resti faskita ĉirkaŭ ilia komuna fonto, ilia averaĝa distanco al la fonto faras ja (multigi, pligrandiĝo), sed pli malfrue ol (lineare, linie, tutece).

[redaktu] Pli altaj dimensioj

Imagi nun drinkemulo marŝanta ĉirkaŭ en la urbo. La urbo estas malfinio kaj plene (mendita, ordita), kaj je ĉiu angula li elektas unu de la kvar eblaj vojoj (inkluzivanta la unu li venis de) kun egala probablo. Formale, ĉi tiu estas hazarda marŝo sur la aro de ĉiuj punktoj en la ebeno kun entjero (koordinatoj, koordinatas). Estos la drinkemulo iam preni dorso al lia hejmo de la (mezuro, drinkejo, bari)? Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) li estos. Ĉi tiu estas la alta dimensia ekvivalento de la nivelpaseja problemo diskutis pli supre. Tamen, la simileco (digas, endigigas, haltas) ĉi tie. En (dimensioj, dimensias) 3 kaj pli supre, ĉi tiu jam ne tenas. En alia (vortoj, vortas), drinkemula birdo povus eterne vagi ĉirkaŭ, neniam trovanta ĝia nesto. La formala (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) al priskribi ĉi tiu fenomeno estas (tiu, ke, kiu) hazarda marŝo en (dimensioj, dimensias) 1 kaj 2 estas rikura dum en dimensio 3 kaj pli supre ĝi estas pasema. Ĉi tiu estis (pruvita, pruvis) per _Pólya_ en 1921.

La trajektorio de hazarda marŝo estas la kolekto de (situoj, situas) ĝi vizitis, (konsiderita, konsideris) kiel aro kun malobservi al kiam la marŝi (alvenita, veninta) je la punkto. En 1 dimensio, la trajektorio estas simple ĉiuj punktoj inter la minimuma alto la marŝi (efektivigita, atingita) kaj la maksimumo (ambaŭ estas, sur averaĝa, sur la (mendi, ordo) de √n). En pli altaj dimensioj la aro havas (interezanta, interesanta) geometriaj propraĵoj. Fakte, unu prenas diskreta fraktalo, tio estas aro kiu eksponas stokasta mem-simileco sur granda (krustoj, krustas, skaloj, skalas), sed sur malgranda (krustoj, krustas, skaloj, skalas) unu povas observi "_jugginess_" rezultanta de la krado sur kiu la marŝi estas (aperita, plenumita). La du (libroj, mendas) de _Lawler_ (fontindikis, referencita) pli sube estas bona fonto sur ĉi tiu aktualaĵo.

[redaktu] Hazarda marŝo sur (grafikaĵoj, grafeoj)

Alpreni nun (tiu, ke, kiu) nia urbo estas jam ne bonorda. Kiam nia drinkemula atingopova certa kuniĝa li (pikas, prenoj, prenas) inter la diversaj haveblaj vojoj kun egala probablo. Tial, se la kuniĝo havas sep elirejoj la drinkemulo estos iri al ĉiu kun probablo unu sepa. Ĉi tiu estas hazarda marŝo sur (grafikaĵo, grafeo). Estos nia drinkemulo atingi lia hejmo? Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) sub iom mildaj kondiĉoj, la (respondo, respondi) estas ankoraŭ jes. Ekzemple, se la (longoj, longas) de ĉiu (baras, ŝtipoj, ŝtipas, kojnoj, kojnas, blokoj, blokas) estas inter a kaj b (kie a kaj b estas (ĉiu, iu) du finiaj pozitivaj nombroj), tiam la drinkemulo estos, preskaŭ certe, atingi lia hejmo. (Rimarki, Avizo) (tiu, ke, kiu) ni ne alpreni (tiu, ke, kiu) la (grafikaĵo, grafeo) estas _planar_, kio estas la urbo (majo, povas) enhavi (tuneloj, tunelas) kaj (pontoj, pontas, nazradikoj, nazradikas, briĝoj, briĝas). Unidirekta al pruvi ĉi tiu rezulto estas uzanta la ligo al elektraj cirkvitoj. Preni mapo de la urbo kaj loko unu oma rezistilo sur ĉiu (bari, bloko). Nun mezuri la "rezisto inter punkto kaj malfinio". En alia (vortoj, vortas), elekti iu nombro R kaj preni ĉiuj punktoj en la elektra cirkvito kun distanco pli granda ol R de nia punkto kaj (drato, metalfadeno, kableto, drati) ilin kune. Ĉi tiu estas nun finia elektra cirkvito kaj ni (majo, povas) mezuri la rezisto de nia punkto al la drataj punktoj. Preni R al malfinio. La limigo estas (nomita, vokis) la rezisto inter punkto kaj malfinio. Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) jeno estas vera:

Teoremo: (grafikaĵo, grafeo) estas pasema se kaj nur se la rezisto inter punkto kaj malfinio estas finia. Ĝi estas ne grava kiu punkto estas elektita.

En alia (vortoj, vortas), en pasema sistemo, nur unu (bezonas, bezonoj) al _overcome_ finia rezisto al preni al malfinio de (ĉiu, iu) punkto. En rikura sistemo, la rezisto de (ĉiu, iu) punkto al malfinio estas malfinio.

Ĝi ankaŭ (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) ĉi tiu karakterizado de rekursieco kaj _transience_ estas tre utila, kaj aparte ĝi permesas al analizi la (kesto, okazo) de urbo desegnita en la ebeno kun la (distancoj, distancas) barita.

Hazarda marŝo sur (grafikaĵo, grafeo) estas tre speciala okazo de Markova ĉeno. Malverŝajne ĝenerala Markova ĉeno, hazarda marŝo sur (grafikaĵo, grafeo) ĝuas propraĵo (nomita, vokis) tempa simetrio aŭ _reversibility_. Malglate parolanta, ĉi tiu propraĵo, ankaŭ (nomita, vokis) la principo de detalis (bilanco, balancilo, bilanci), (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) la (probabloj, probablas) al _traverse_ donita vojo en unu direkto aŭ en la alia havi tre simpla ligo inter ilin (se la (grafikaĵo, grafeo) estas regula, ili estas (justa, ĵus) egala). Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) ĉi tiu propraĵo havas gravaj konsekvencoj.

Startanta de la _80s_, multa esplori havas _gone_ enen trakonektantaj propraĵoj de la (grafikaĵo, grafeo) al hazardaj marŝoj. Aldone al la elektra cirkvita ligo priskribis pli supre, estas gravaj ligoj al _isoperimetric_ neegalaĵoj, vidi pli ĉi tie, (funkcionalo, funkcia) neegalaĵoj kiel _Sobolev_ kaj _Poincaré_ neegalaĵoj kaj propraĵoj de solvaĵoj de Laplaca ekvacio. Grava porcio de ĉi tiu esplori estita fokusita sur _Cayley_ (grafikaĵoj, grafeoj) de finie generita (grupoj, grupas). Ekzemple, la pruvo de _Persi_ _Diaconita_ (tiu, ke, kiu) 7 _riffle_ (miksoj, miksas) estas sufiĉa al miksi (paki, dorsosako, tornistro) de (kartoj, kartas, diskombas) (vidi pli (detaloj, detalas) sub mikso) estas en efiki rezulto pri hazarda marŝo sur la grupo S_n, kaj la pruvo uzas la grupa strukturo en esenca vojo. En multaj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) ĉi tiuj diskretaj rezultoj (porto, porti) super al, aŭ estas derivita de (Duktoj, Duktas) kaj (Mensogi, Kuŝi) (grupoj, grupas).

Bona referenco por hazarda marŝo sur (grafikaĵoj, grafeoj) estas la surlinia libro per _Aldous_ kaj Enspaci. Por (grupoj, grupas) vidi la libro de _Woess_. Se la (grafikaĵo, grafeo) sin estas hazarda, ĉi tiu aktualaĵo estas (nomita, vokis) "hazarda marŝo en hazarda ĉirkaŭaĵo" — vidi la libro de _Hughes_.

[redaktu] Rilato al Moviĝo de Brown

Ekzemplo de 1000 simulis (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) de Moviĝo de Brown en du (dimensioj, dimensias).

Moviĝo de Brown estas la (krustanta, skalanta) limigo de hazarda marŝo en dimensio 1. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) se vi preni hazarda marŝo kun tre malgranda (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) vi preni proksimuma kalkulado al Moviĝo de Brown. Al esti pli preciza, se la (ŝtupo, paŝi) amplekso estas ε, unu (bezonas, bezonoj) al preni marŝi de longo L/ε² al aproksimi Moviĝo de Brown de longo L. Kiel la (ŝtupo, paŝi) amplekso strebas al 0 (kaj la nombro de (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) (multigita, pligrandiĝita) kompare) hazarda marŝo konverĝas al Moviĝo de Brown en adekvata (senso, senco). Formale, se B estas la spaco de ĉiuj vojoj de longo L kun la maksimuma topologio, kaj se M estas la spaco de mezuri super B kun la norma topologio, tiam la konverĝo estas en la spaco M. Simile, Moviĝo de Brown en kelkaj (dimensioj, dimensias) estas la (krustanta, skalanta) limigo de hazarda marŝo en la sama nombro de (dimensioj, dimensias). (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) Moviĝo de Brown en la (prezenti, aktuala) artikolo (ligas, referas) al la matematika difino de la (termo, membro, flanko, termino), iom ol la reala fizika fenomeno de minuta partiklo difuzanta en fluaĵo.

Hazarda marŝo estas diskreta fraktalo, sed Moviĝo de Brown estas vera fraktalo, kaj estas ligo inter la du. Ekzemple, preni hazarda marŝo ĝis ĝi (batoj, batas, furorkantoj, furorkantas, klavas, furoroj, furoras, modkantoj, modkantas) cirklo de radiuso r (tempoj, tempas) la (ŝtupo, paŝi) longo. La averaĝa nombro de (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) ĝi plenumas estas r². Ĉi tiu fakto estas la diskreta versio de la fakto (tiu, ke, kiu) Moviĝo de Brown estas fraktalo de Dimensio de Hausdorff 2. En du (dimensioj, dimensias), la averaĝa nombro de punktoj la sama hazarda marŝo havas sur la rando de ĝia trajektorio estas $r 4 / 3$ . Ĉi tiu korespondas al la fakto (tiu, ke, kiu) la rando de la trajektorio de Moviĝo de Brown estas fraktalo de dimensio 4/3, fakto aŭguris per Mandelbrot-a uzanta (simuladoj, simuladas) sed (pruvita, pruvis) nur en 2001.

Moviĝo de Brown ĝuas multa simetria hazarda marŝo ne. Ekzemple, Moviĝo de Brown estas invarianto al (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas), sed hazarda marŝo estas ne, ekde la suba krado estas ne (hazarda marŝo estas invarianto al (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) per 90 (gradoj, gradas), sed Moviĝo de Brown estas invarianto al (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) per 17 (gradoj, gradas) ankaŭ). Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) en multaj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), (problemoj, problemas) sur hazarda marŝo estas pli simpla al solvi per (tradukanta, translingviganta) ilin al Moviĝo de Brown, solvanta la problemo tie, kaj tiam (tradukanta, translingviganta) dorso. Aliflanke, iu (problemoj, problemas) estas pli simpla al solvi kun hazardaj marŝoj pro al ĝia diskreta naturo.

Hazarda marŝo kaj Moviĝo de Brown povas esti (duopita, kuplita, parita), nome (sin manifestis, manifestiĝita, manifestita) sur la sama probablospaco en dependa vojo (tiu, ke, kiu) (fortoj, fortas) ilin al esti sufiĉe fermi. La plej simpla tia (duopanta, kuplilo) estas la _Skorokhod_ enigo, sed alia, pli preciza (kupliloj, kuplas) ekzisti kiel bone.

La konverĝo de hazarda marŝo al la moviĝo de Brown estas (funkciigita, regita) per la centra limiga teoremo. Por partiklo en sciata (fiksis, neŝanĝebligita) pozicio je t=0, la teoremo diras ni (tiu, ke, kiu) post granda nombro de sendependa (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) en la hazarda marŝo, la _walker_'s pozicio estas distribuita laŭ normala distribuo de tuteca varianco:

$\sigma^2 = \frac{t}{\delta t}\,\epsilon^2$ , kie t estas la tempo _elapsed_ ekde la starti de la hazarda marŝo,

ε

estas la amplekso de (ŝtupo, paŝi) de la hazarda marŝo, kaj

δ t

estas la tempo _elapsed_ inter du sukcesa (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas).

Ĉi tiu korespondas al la Verda funkcio de la difuza ekvacio (tiu, ke, kiu) regas la moviĝo de Brown, kiu demonstracias (tiu, ke, kiu), post granda nombro de (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas), la hazarda marŝo konverĝas al moviĝo de Brown.

En 3D, la varianco (korespondanta, respektiva) al la Verda funkcio de la difuza ekvacio estas:

$\sigma^2 = 6\,D\,t$

Per _equalizing_ ĉi tiu kvanto kun la varianco asociita al la pozicio de la hazarda _walker_, unu ricevas la ekvivalenta difuza koeficiento al esti konsiderata por la asimptota moviĝo de Brown al kiu la hazarda marŝo konverĝas post granda nombro de (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas):

$D = \frac{\epsilon^2}{6 \delta t}$ (valida nur en 3D)

mallaŭdo: la du esprimoj de la varianco pli supre esti konforma laŭ la distribuo asociita al la vektoro $\vec R$ (tiu, ke, kiu) (ligoj, ligas) la du (randoj, randas, finoj, finas) de la hazarda marŝo, en 3D. La varianco asociita al ĉiu komponanto $R x$ , $R y$ aŭ $R z$ estas nur unu tria de ĉi tiu valoro (ankoraŭ en 3D).

[redaktu] (Mem, Sin)-_interacting_ hazardaj marŝoj

Estas nombro de (interezanta, interesanta) (modeloj, modelas) de hazardaj vojoj en kiu ĉiu (ŝtupo, paŝi) dependas sur la pasinta en komplika maniero. Ĉiuj estas pli malfacila al analizi ol la kutima hazarda marŝo — iu _notoriously_ (do, tiel). Ekzemple

La (mem, sin)-evitanta marŝi. Vidi la _Madras_ kaj _Slade_ libro.
La ciklo-gumita hazarda marŝo. Vidi la du (libroj, mendas) de _Lawler_.
La _reinforced_ hazarda marŝo.
La esplorada procezo.

[redaktu] Aplikoj

En ekonomio, hazarda marŝo estas uzita al modelo (kotizoj, kotizas, kvotoj, kvotas, akcioj, akcias, komunigas, partoj, partas) (prezoj, prezas, kurzoj, kurzas) kaj alia (faktoroj, faktoras). Empiriaj studoj fundamenti iuj dekliniĝoj de ĉi tiu modelo, aparte mallonga (termo, membro, flanko, termino) kaj longa (termo, membro, flanko, termino) (korelacioj, korelacias). Vidi (komunigi, parto) (prezoj, prezas, kurzoj, kurzas).
En loĝantara genetiko, hazarda marŝo priskribas la statistikaj propraĵoj de genetiko drivi
En fiziko, hazardaj marŝoj estas uzitaj kiel (simpligis, plisimpligita) (modeloj, modelas) de fizika Moviĝo de Brown kaj la hazarda delokigo de (molekuloj, molekulas) en (likvaĵoj, likvaĵas) kaj gasoj. Vidi ekzemple difuzo-(limigita, limigis) agregaĵo.
Ankaŭ en fiziko, hazardaj marŝoj kaj iu de la (mem, sin) _interacting_ marŝas roli en kvantuma kampa teorio.
En Polimera fiziko, hazarda marŝo priskribas ideala ĉeno. Ĝi estas la plej simpla modelo al studi (polimeroj, polimeras).
En aliaj kampoj de matematiko, hazarda marŝo estas uzita al kalkuli solvaĵoj al Laplaca ekvacio, al taksi la harmona mezuri, kaj por diversaj konstruoj en analitiko kaj kombinatoriko.

Totale ĉi tiuj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), hazarda marŝo estas ofte anstataŭigita por Moviĝo de Brown.

En Cerbo Esplori, hazardaj marŝoj kaj _reinforced_ hazardaj marŝoj estas uzitaj al modelo (akvofaloj, akvofalas, falakvoj, falakvas, kaskadoj, kaskadas) de neŭrono (fajranta, abianta) en la cerbo.
En psikologio, hazardaj marŝoj ekspliki precize la rilato inter la tempo (bezonata, bezonis) al fari decido kaj la probablo (tiu, ke, kiu) certa decido estos esti farita.
Hazarda marŝo povas kutimi specimeno de (ŝtato, stato, stati) spaco kiu estas nekonato aŭ tre granda, ekzemple al (preno, preni) hazarda paĝo for la interreto aŭ, por esplori de laborante kondiĉoj, hazarda mallaŭregula laborabelo en donita lando.
Kiam ĉi tiu lasta (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) estas uzita en komputika ĝi estas sciata kiel Markova Ĉeno Monte-a _Carlo_ aŭ _MCMC_ por mallonga. Ofte, specimenanta de iu komplika (ŝtato, stato, stati) spaco ankaŭ permesas unu al preni probableca taksi de la (spaca, kosma, spaceta) amplekso. La taksi de la konstanta de granda matrico de nuloj kaj aĵoj estis la unua majora problemo alpaŝis uzanta ĉi tiu (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo).
Bakterio (kolizii, kontrakti) en dekliva hazarda marŝo.
Kaj _lest_ ni forgesi, la hazarda marŝo startis ĝia vivo en modelanta de (hazardludo, vetanta).

[redaktu] Vidi ankaŭ

_Bertrand_'s Balota Teoremo
_Bacterial_ _Chemotaxis_
Monero-ĵetanta (problemoj, problemas).
Difuzo (Limigita, Limigis) Agregaĵo
Leĝo de ripetitalogaritmo
_Martingale_
Markova ĉeno
Procezo de Wiener (hazarda marŝo kun infinitezimo (ŝtupo, paŝi) amplekso)

[redaktu] Referencoj

Davido _Aldous_ kaj _Jim_ Enspaci, _Reversible_ Markovaj Ĉenoj kaj Hazarda Marŝas sur (Grafikaĵoj, Grafeoj), http://stat-www.berkeley.edu/users/aldous/RWG/book.html
Vilhelmo _Feller_ (1968), An Enkonduko al Probabla Teorio kaj ĝiaj Aplikoj (Volumeno 1). ISBN 047125708-7

Ĉapitro 3 de ĉi tiu libro enhavas funda diskuto de hazardaj marŝoj, inkluzivantaj plibonigitaj rezultoj, uzanta nur rudimenta (iloj, ilas).

_Barry_ Don/Doña _Hughes_ (1996), Hazardaj marŝoj kaj hazarda (medioj, medias, ĉirkaŭaĵoj, ĉirkaŭaĵas), Oksforda Universitato Premi. ISBN 0198537891
_Gregory_ _Lawler_ (1996), Komunaĵo de hazardaj marŝoj, _Birkhäuser_ _Boston_. ISBN 0-8176-3892-X
_Gregory_ _Lawler_, Konforme Invariantaj Procezoj en la Ebeno, http://www.math.cornell.edu/~lawler/book.ps
_Neal_ _Madras_ kaj _Gordon_ _Slade_ (1996), La (Mem, Sin)-Evitanta Marŝi, _Birkhäuser_ _Boston_. ISBN 0817638911
Kamarado _Révész_ (1990), Hazarda marŝo en hazarda kaj ne-hazarda (medioj, medias, ĉirkaŭaĵoj, ĉirkaŭaĵas), Monda Scienca Drinkeja Co. ISBN 981-02-0237-7
_Wolfgang_ _Woess_ (2000), Hazardaj marŝoj sur malfinio (grafikaĵoj, grafeoj) kaj (grupoj, grupas), Kembriĝo (Britio) _tracts_ en matematiko 138, Kembriĝo (Britio) Universitato Premi. ISBN 0521552923

La _XScreenSaver_ havas haki vagi (tiu, ke, kiu) montras hazarda marŝo sur la ebeno kun la koloro ŝanĝanta kun tempo.

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Hazarda_mar%C5%9Do_fc31.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Stokastikaj procezoj