Conjunto de Mandelbrot
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El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales, y el más estudiado.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo. En la imagen anterior, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión: en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2 : x² + y² > 4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique |zn| > 2 para estar seguro que c no está en el conjunto.
La propiedad fundamental de los fractales es una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.
Veámoslo más en detalle, a partir del plano siguiente (derecha):
(A partir de aquí, se puede agrandar cada imagen clicando sobre ella)
Al agrandar el cuadro verde, se obtiene la imagen siguiente (izquierda):
Salta a la vista que la bola negra a es una reducción exacta de la bola A. La protuberancia a la izquierda de a también es una reducción exacta de a, y el proceso sigue indefinidamente.
También se puede observar que la bola b es una reducción de A (una reducción combinada con una rotación, es decir que b se obtiene de A mediante una semejanza). Mirando mejor, se nota un sinfín de protuberencias semejantes a A.
Volviendo al plano, escojamos esta vez el cuadro azul oscuro a la izquierda. Al agrandarlo, obtenemos (derecha):
Su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfín de veces, empezando por agrandar la pequeña mancha negra a la izquierda del cuadro.
Ahora, ampliemos el cuadro violeta del plano:
En esta imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene la misma forma que la imagen inicial. Al mirar más de cerca, se obtiene (abajo):
Y una vez más, el parecido salta a la vista.
Ahora, agrandemos el cuadro azul claro de la derecha del plano:
Acerquémonos al cuadro blanco de la última imagen:
Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.
Existe otra manera de definir este conjunto:
Es el conjunto de los complejos c para los que el conjunto de Julia asociado a fc(z) = z² + c es conexo.
[editar] Otra representación
En esta imagen, el conjunto es, naturalmente, el mismo, pero las líneas de nivel (que separan los colores, fuera del conjunto) no son idénticas. Esto se debe a que no se ha empleado el mismo criterio de divergencia: en esta imagen es realmente |zn| > 2, mientras que en las anteriores era |zn| > 10, por razones estéticas, ya que así se obtiene una imagen inicial menos oscura.
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