Mandelbrotova množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Mandelbrotova množina je jeden z nejznámějších fraktálů. Je definována jako množina komplexních čísel c, pro které $\lim_{n \rightarrow \infty}|z_n| \neq \infty$ , kde posloupnost $z 0, z 1, z 2,...$ je definována rekurzivním předpisem

$z_0=0;\qquad z_{n+1} = z_n^2 + c\,.$

Bod c tedy patří do Mandelbrotovy množiny právě tehdy, když uvedená limita neexistuje, nebo je konečná (např. c=0).

Lze snadno ukázat, že posloupnost jde do (komplexního) nekonečna pro všechna $| c | > 2$ , takže pokud kterýkoliv člen posloupnosti překročí tuto absolutní hodnotu, pak $c$ není prvkem Mandelbrotovy množiny.

[editovat] Vlastnosti

Část mandelbrotovy množiny

Celá množina leží uvnitř kruhu se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem 2.
Množina je souvislá (jak dokázali roku 1982 A. Douady a J. H. Hubbard), je dokonce jednoduše souvislá. Předpokládá se, že je také obloukově souvislá, ale není to dokázáno.
Hausdorffova dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál.
Množina je kompaktní, tedy uzavřená, tím spíš borelovská a lze jí tedy přiřadit Lebesgueovu míru, její plocha je přibližně 1,5065918 [1].
Množina sestává ze spočetně nekonečného množství podobjektů, podobných kardiodám a kruhům, které se vzájemně dotýkají.

[editovat] Praktická implementace

Obarvená Mandelbrotova množina

Při praktické implementaci se pro každý bod rovnice opakovaně vyčísluje a ve chvíli, kdy |z_n| > 2, je zřejmé, že pro daný bod bude rovnice divergovat (a při grafickém zobrazování se tato hodnota n, pro kterou bod tuto mez překročil, zpravidla převádí na barvu). Pokud ani po předem zvoleném počtu iterací k překročení této hranice nedojde, je bod považován za součást Mandelbrotovy množiny. Nastavení této hranice ovlivňuje výsledný obrázek: pro přiliš malou hodnotu budou některé body chybně označeny jako patřící do množiny, ale velký počet iterací vyžaduje delší čas výpočtu.

Výpočet je možno zrychlit také tím, že se rychle detekují body, které do množiny evidentně patří, protože se nacházejí uvnitř hlavních částí množiny – kružnice a kardiody.

[editovat] Historie

Množinu jako první definoval v roce 1905 francouzský matematik Pierre Fatou, který studoval rekurzivní procesy jako např.

$z \mapsto z^2 + c$ .

Pokud se taková operace opakovaně provádí z nějaké počáteční hodnoty z₀, vznikne tím posloupnost bodů, která se označuje jako orbit bodu z₀ vůči dané transformaci. Fatou si uvědomil, že o chování podobných systémů dobře vypovídá studium orbitu bodu z₀ = 0. Takových systémů existuje nekonečně mnoho (jeden pro každou hodnotu c). Jelikož Fatou neměl k dispozici počítač, pokusil se vytvořit orbity několika takových funkcí ručně, přičemž nalezl již zmiňovanou hranici 2, po překročení které bude orbita zaručeně utíkat do nekonečna.

Ruční výpočty byly pochopitelně velice náročné, takže Fatou nikdy to, co se dnes označuje jako Mandelbrotova množina, na vlastní oči nespatřil. Prvním, kdo tuto množinu nechal vykreslit počítačem, byl Benoît Mandelbrot, podle kterého je také pojmenována.

Mandelbrot tuto množinu a vůbec pojem fraktál popularizoval ve své knize z roku 1975, Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension.

[editovat] Příbuzné fraktály

Mandelbrotova množina je ve skutečnosti jakýmsi katalogem Juliových množin. Každému bodu roviny odpovídá Juliova množina (s parametrem daným souřadnicemi daného bodu), přičemž bodům uvnitř Mandelbrotovy množiny odpovídají souvislé Juliovy množiny, bodům mimo pak nesouvislé. Vizuálně nejzajímavější Juliovy množiny odpovídají bodům poblíž hranice Mandelbrotovy množiny, neboť bodům hluboko uvnitř odpovídají jednoduché geometrické tvary, bodům daleko vně pak jen několik roztroušených bodů.

Mandelbrotova množina dokonce obsahuje místa, která vzhledem připomínají Juliovy množiny (okolí bodu c připomíná střed Juliovy množiny s parametrem c).

Při změně počáteční podmínky u definující rovnice je výsledkem nesouvislá množina, takovému znetvoření se anglicky říká tilt (naražení, zvrhnutí).