Mandelbrotverzameling

Van Wikipedia

Mandelbrotverzameling.

De Mandelbrotverzameling is een fractal die een belangrijke rol speelt in de chaostheorie. De verzameling is vernoemd naar Benoît Mandelbrot, een Pools-Franse wiskundige die de fractal in 1980 voor het eerst met de behulp van een computer onderzocht. De verzameling werd echter al in 1905 onderzocht door Pierre Fatou, een Franse wiskundige die zich specialiseerde in de studie van recursieve vergelijkingen.

Buiten de chaostheorie staat de Mandelbrotverzameling vooral bekend om zijn esthetische eigenschappen en is daarom vaak het onderwerp van recreatieve wiskunde en inleidende cursussen in fractals.

[bewerk] Wiskundige beschrijving

De Mandelbrotverzameling wordt formeel gedefinieerd als de verzameling punten c in het complexe vlak waarvoor de volgende recursief gedefinieerde rij niet naar oneindig gaat:

$z_0 = 0\,$

$z_{n+1} = {z_n}^2 + c$

De rij kan wiskundig op de volgende manier worden uitgeschreven:

$c=x+iy \,$

$z_0=0 \,$

$\begin{matrix}z_1&=&z_0^2+c \\ \ &=& x+iy\end{matrix} \,$

$\begin{matrix}z_2&=&z_1^2+c \\ \ &=&(x + iy)^2+x+iy \\ \ &=&x^2+2ixy-y^2+x+iy \\ \ &=&x^2-y^2+x+(2xy+y)i\end{matrix} \,$

$z_3=z_2^2+c=\dots \,$

enzovoort.

Als dit wordt geherformuleerd in termen van het reële en imaginaire deel (resp. de x- en y-coördinaten van het complexe vlak), waarbij

$z n : = x n + y n i$
$c : = a + b i$

dan volgt:

$x_{n+1} = {x_n}^2 - {y_n}^2 + a \,$

$y_{n+1} = 2{x_n} {y_n} + b \,$

[bewerk] Beschrijving van de fractal

Door kleuren aan te brengen die overeenkomen met de snelheid waarmee de rij convergeert of divergeert ontstaat een kleurrijk figuur

De Mandelbrotverzameling kan worden verdeeld in een oneindige verzameling van figuren: het grootste figuur in het centrum is een cardioïde. Er is een aftelbaar oneindig aantal bijna-cirkels, waarvan de diameter asymptotisch naar nul nadert. De enige volledige cirkel bevindt zich direct links van de cardioïde. Elk van de bijna-cirkels heeft op zijn beurt een eigen aftelbaar oneindig aantal kleinere cirkels om zich heen, die zich vanuit de cirkel vertakken. Deze vertakking zet zich oneindig voort, en aldus vormt zich een fractal. Alle punten binnen deze fractal zijn aangrenzende punten, dit is een bewezen gegeven. Deze fractal is dus samenhangend ofwel gesloten, net als de julia-fractals waar het object uit opgebouwd is.